Правило треугольника. Суммойдвух произвольных векторов и называется третий вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки Ооткладывается вектор , затем от конечной точки вектора откладывается вектор . Вектор , начало которого совпадает с началом , а конец с концом , образует сумму векторов и .
О
Правило параллелограмма. Суммойдвух произвольных векторов и называется третий вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки Ооткладываются векторы и , строится на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма, выходящая из точки О является суммой двух данных векторов.
О
Свойства суммы векторов:
1) (ассоциативность);
2) (коммутативность);
3) ;
4)
Пример. Скорость – векторная величина, характеризующаяся быстротой движения (модуль вектора скорости) и направлением (направление вектора скорости) в данный момент времени.
Необходимость в сложении скоростей возникает, когда объект участвует одновременно в двух движениях.
Правило многоугольника. Суммойп произвольных векторов , , …, называется вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки Ооткладывается вектор , затем от конечной точки вектора откладывается вектор . От конечной точки вектора откладывается вектор Продолжая аналогичным образом, от конечной точки вектора откладывается вектор Вектор , начало которого совпадает с началом , а конец с концом , образует сумму векторов , , …, .
О
Вектор нельзя формально определить как объект, характеризуемый числовой величиной и направлением. Это может привести к неверным выводам при решении практических задач.
Пример. Поток автомобилей на дороге является объектом, для характеристики которого нужно указать величину (число проходящих за единицу времени автомашин) и направление. Рассмотрим перекресток трех дорог, на котором по двум дорогам сливаются два потока автомобилей по 200 автомашин в час на каждой.
» 283 ам/час
200 ам/час
200 ам/час
Если предположить, что поток автомобилей является векторным объектом, то суммируя потоки как векторы, вместо очевидного результата 400 ам./час получим (по правилу параллелограмма) заведомо бессмысленное значение ам./час. Отсюда следует, что хотя поток автомашин характеризуется числовым значением и направлением, но, тем не менее, вектором не является.
Разностьювекторов и называется:
а) вектор такой, что ;
б) сумма вектора и противоположного вектора вектору , то есть .
О
Задача. Самолёт летит относительно воздуха со скоростью v0 = 800 км/ч. Ветер дует с запада на восток со скоростью u = 15 м/с. С какой скоростью v самолёт будет двигаться относительно земли и под каким углом α к меридиану надо держать курс, чтобы перемещение было: на юг; на запад; на восток?
Решение. При движении самолета его скорость относительно земли равна сумме скоростей самолета относительно воздуха и ветра: .
Воспользовавшись правилом треугольника, найдем скорость самолета относительно земли при ее движении на юг, учитывая, что u =15м/с = 54км/ч. (
)
Vcв
С
В
С
З
Ю
В
q
u = 15 м/с
Vв
v0=800 км/ч
Из прямоугольного треугольника АВС:
а)
В
б) ;
урс на юго-запад.
С
А
Воспользовавшись правилом треугольника, найдем скорость самолета относительно земли при ее движении на запад.
Модуль вектора равен
В
А
С
разности модулей векторов
и , то есть
Кур на запад.
Воспользовавшись правилом треугольника, найдем скорость самолета относительно земли при ее движении на восход.
Модуль вектора равен
В
А
С
сумме модулей векторов
и , то есть
Кур на восход.
Произведением ненулевого вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
а) ;
b)еслиα> 0,то ;еслиα< 0,то .
Произведение нулевого вектора на произвольное число или числа нульнапроизвольный вектор есть нуль–вектор.
Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:
1)
2)
3)
4)
Теорема.Для того чтобы вектор был коллинеарен ненулевому вектору , необходимо и достаточно, чтобы существовало число ,удовлетворяющее условию .
Доказательство.
Доказательство необходимости. Пусть вектор коллинеарен ненулевому вектору . Возможны следующие три случая:
l) ; 2) ; 3) .
Рассмотрим первый случай.
Таким образом,
Доказательство достаточностинепосредственно следует из определения произведения вектора на число.
Задачи
1. Самолет летит их пункта А в пункт В и обратно со скоростью 600 км/час относительно воздуха. Расстояние между пунктами 900 км. Сколько времени затратил самолет на весь полет, если:
а) вдоль линии полета непрерывно дует ветер постоянного направления со скоростью 20 м/с?
б) подует западный ветер со скоростью 14 м/с?
в) будет дуть боковой ветер со скоростью 20 м/с перпендикулярно линии полета?
2. Найти скорость v относительно берега реки: а) лодки, идущей по течению; б) лодки, идущей против течения; в) лодки, идущей под углом а = 90° к течению. Скорость течения реки 1 м/с, скорость лодки относительно воды v0 = 2 м/с.
3. От одного берега реки к другому плывет лодка, держа курс перпендикулярно к берегам (скорость течения у берегов и на середине реки считать одинаковой).
а) Определить скорость течения реки; собственную скорость лодки; скорость лодки относительно берегов, если ширина реки 800 м; лодка достигает противоположного берега через 12 мин после начала переправы. За это время лодку сносит вниз по течению на расстояние 600 м.
б) Определите время движения лодки к другому берегу и на сколько метров будет снесена лодка течением, если ширина реки 80 м, а скорость течения 1 м/с. Скорость лодки относительно воды равна 2 м/с. Под каким углом к течению реки необходимо направить лодку, чтобы плыть точно поперек реки.
4. Рыбак, плывя по течению реки с постоянной относительно воды скоростью, проплывая под мостом, потерял удочки. Через полчаса он заметил пропажу и повернул обратно. На расстоянии 4 км от моста он встретился с удочками. Определить скорость течения реки.
5.Автоколонна длиной 2 км движется со скоростью 40 км/ч. Мотоциклист выехал из хвоста колонны со скоростью 60 км/ч. За какое время он достигнет головной машины? Какой путь за это время пройдет мотоциклист относительно Земли?
6.Две вагонетки катятся навстречу друг другу со скоростями 0,5 м /с и 0,4 м /с. Через какое время вагонетки столкнутся, если первоначальное расстояние между ними 135 м?
7. Сколько времени сидящий у окна пассажир поезда, идущего со скоростью 54 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого равна 36 км/ч, а длина – 150 м? {6 c}
8. В безветренную погоду капли дождя оставляют на окне равномерно движущегося поезда следы, направленные под углом 60º к вертикали. Определить скорость капель относительно Земли, если поезд движется со скоростью 36 км/ч?
9. При горизонтальном ветре, скорость которого 10 м/с, капли дождя падают под углом 30º к вертикали. При какой горизонтальной скорости ветра капли будут падать под углом 60º к вертикали?
10. Эскалатор метрополитена спускает неподвижно стоящего человека за 90 с. По неподвижному эскалатору человек спускается за 2 мин. За какое время спустится человек по движущемуся эскалатору? Скорости движения человека и эскалатора во всех случаях неизменны.
11. Эскалатор метрополитена, двигаясь равномерно, поднимает неподвижно стоящего на нём человека в течение одной минуты. По неподвижному эскалатору пассажир, двигаясь равномерно, поднимается за три минуты. Сколько секунд будет подниматься пассажир по движущемуся вверх эскалатору?
12. Две прямые дороги пересекаются под углом 60º. От перекрестка в одну сторону удаляются по ним две машины: одна со скоростью 60 км/ч, другая со скоростью 80 км/ч. Определить величину скорости, с которой одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.
13. Парашютист опускается на землю со скоростью 4 м/с при спокойном состоянии воздуха. С какой скоростью он будет приземляться, если горизонтально дует ветер, скорость которого 3 м/с?
и 
называется третий вектор 
, который получается следующим образом: от произвольной точки Ооткладывается вектор 
(ассоциативность);
(коммутативность);
;
, 
, …, 
называется вектор 
откладывается вектор 
откладывается вектор 
Продолжая аналогичным образом, от конечной точки вектора 
откладывается вектор 
Вектор 
, образует сумму векторов 
ам./час. Отсюда следует, что хотя поток автомашин характеризуется числовым значением и направлением, но, тем не менее, вектором не является.
называется:
такой, что 
;
.
.
)
;
урс на юго-запад.
равен
, то есть 
Модуль вектора 
называется вектор 
, удовлетворяющий следующим условиям:
;
;еслиα< 0,то 
.
был коллинеарен ненулевому вектору 
, необходимо и достаточно, чтобы существовало число
,удовлетворяющее условию 
.
коллинеарен ненулевому вектору 
; 2) 
; 3) 
.
