Векторы на плоскости и в пространстве

Вектором[От латинского vector – везущий, несущий] называется направленный отрезок, т.е. отрезок, для которого указано, какая из концевых его точек считается началом, какая – концом отрезка.

Векторы обозначают двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху: , или строчной буквой латинского алфавита с чертой наверху:

Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называют нулевым вектором и обозначают или , . На чертеже нулевой вектор изображается одной точ­кой.

Вектор характеризуется следующими элементами:

1) начальной точкой (точкой приложения);

2) направлением;

3) длиной («модулем вектора»).

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называютсяколлинеарными[От латинского con – вместе и liпеа – линия, т.е. солинейные].

Коллинеарность векторов обозначается , . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два ненулевых коллинеарных вектора могут иметь одно и то же направление ( и ) или противоположные направления ( и ). В первом случае они называютсясонаправленными, во втором случае –противоположно направленными. Сонаправленность векторов и обозначается (или ), противоположная направленность –

Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях,называютсякомпланарными.

Длиной или модулемвектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор.

Вектор называетсяединичным , если его модуль равен единице: .Если дан какой-нибудь вектор , то единичный вектор того же направления равен отношению вектора на его модуль , то есть .

Два вектора и называютсяравными, если выполняются следующие условия:

а) модули векторов и равны: ;

б) если векторы и ненулевые, то они сонаправлены: .

Два равных вектора могут отличаться друг от друга только своими точками приложения, поэтому принято считать, что вектор , равный вектору , есть тот же вектор , но только перенесённый в другое место. Если отвлечься от точки приложения вектора, то весь класс равных между собой векторов, приложенных ко всевозможным точкам, можно рассматривать, как математический объект, называемый свободным вектором, определённым каждым из равных между собой векторов, составляющих данный класс.