Граничные условия для электромагнитного поля

При решении большинства задач электродинамики приходит­ся рассматривать электромагнитное поле при наличии границ, разделяющих среды с различными электромагнитными свойствами. Параметры сред меняются на границе скачком, поэтому операция дифференцирования в этой области становится невозможной. Ха­рактеристику поведения нормальных и касательных составляющих векторов поля на границе раздела двух сред выражают в виде граничных условий, которые можно рассматривать как предель­ную форму уравнений Максвелла.

Граничные условия для нормальных составляющих векторов поля. Граничные условия для нормальных составляющих электри­ческого , и магнитного , полей получаются из третьего и четвертого уравнений Максвелла в интегральной форме, рассматриваемых для элементарного объема V , выде­ленного на границе раздела двух сред с параметрами ; . На границе раздела сред допускается существование поверхностного заряда . Для электрического поля третье уравнение Максвелла (10) дает

; (20)

Если заряды на границе отсутствуют ,то условие (20) примет вид

; , (21)

Для магнитного поля заряды всегда отсутствуют, поэтому

, , (22)

т.е. нормальная составляющая вектора магнитного поля всегда непрерывна на границе раздела сред.

Граничные условия для касательных составляющих векторов поля. Эти условия выводятся из первого и второго уравнений Максвелла в интегральной форме. Интегрирование этих уравне­ний проводят по элементарному контуру, пронизывающему грани­цу раздела сред. На граничной поверхности допускают сущест­вование поверхностного электрического тока , представ­ляющего собой движение поверхностных зарядов. При стягивании контура интегрирования к границе раздела сред в пределе пер­вое уравнение Максвелла для вектора магнитного поля дает

, (23)

Если поверхностный ток отсутствуете , то и соответственно .Для касательной состав­ляющей вектора электрического поля из второго уравнения Макс­велла получим

, (24)

Особо отметим граничные условия для векторов поля на границе с идеальной металлической поверхностью . В этом слу­чае во второй среде при все поля обращаются в нуль и граничные условия на основании (20)- (24) принимают вид

; ; ; (25)

В электростатическом поле равенство нулю тангенсальной со­ставляющей электрического поля означает эквипотенциальность поверхности проводников, так как

;

Отсюда на основании (16) следует очевидный вывод, что в области, ограниченной замкнутой металлической поверхностью, не содержащей источников , электрическое поле всегда равно нулю.