Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из ni элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n1*n2*n3*...*nk.
Пример 1.Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n1 элементов, а вторая - из n2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n2. Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n2. Так как в первой группе всего n1 элемент, всего возможных вариантов будет n1*n2.
Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n1=6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n2=7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n3=4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.
В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n1=n2=...nk=n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно nk.Такой способ выбора носит названиевыборки с возвращением.
Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=54=625.
Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество будем называть генеральной совокупностью.
Определение 1. Размещением из n элементов по mназывается любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 4.Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.
Число размещений обозначается Anm и вычисляется по формуле:
Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.
Пример 5. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:
Определение 2. Сочетанием из n элементов по m называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 6. Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
Число сочетаний обозначается Cnm и вычисляется по формуле:
Пример 7.Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?
Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:
Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.
Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).
Число различных перестановок из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле Pn=n!.
Пример 8.Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.
Обсуждение.Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.
Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).
Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.
И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.
Пример.На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числасочетанийиз 20 элементов по 5.
Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантовперестановок, которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.
1. Свойства вероятностей.
Рассмотрим испытание, имеющее n равновероятных исходов. Выберем m из них, которые будем считать благоприятными, и рассмотрим событие А, состоящее в наступлении благоприятного исхода.
Вероятность рА события А равна по определению дроби
Перечислим первые простейшие свойства вероятности. 1) 0рА1. 2) Если событие А невозможно (т. е. если m = 0), то рА = 0; если событие А достоверно (т. е. если m = n), то рА = 1. 3) Если событие В состоит в том, что не наступает событие А, т. е. если оно является противоположным событию А, то Действительно, если m исходов благоприятны для события А, то остальные n – m – неблагоприятны. Событие В как раз и состоит в наступлении одного из этих n – m исходов, т. е.
2. Вычисление вероятностей в случае равновероятных исходов. Для вычисления вероятности по приведенному определению приходится решать комбинаторные задачи – находить общее число равновероятных исходов и число благоприятных исходов.
Пример 1 Одновременно бросают две игральные кости. Какова вероятность, что на них в сумме выпадет 6 очков? Возможные исходы испытания таковы: может выпасть в сумме 2, 3, …, 12 очков, т. е. общее количество исходов равно 11. Однако если в первом примере все перечисленные исходы были равновероятны (это подчеркивалось тем, что каждая буква слова пишется независимо от предыдущих), то сейчас, конечно, нет. Совершенно ясно, что сумму 2 или 12 получить труднее, чем сумму 6. Разобьем событие (сумма очков на двух костях) иначе, т. е. выделим иные элементарные события, которые будут равновероятными. Представим себе, что мы различаем между собой кости (скажем, покрасим их в разные цвета) и запишем исход испытания в виде упорядоченной пары чисел от 1 до 6, показывающей, сколько очков выпало на каждой кости. Ясно теперь, что эти исходы равноправны, равновероятны, и их количество равно 62 = 36. Для нахождения числа благоприятных исходов (таких пар (a; b), что a + b = 6) придется перебрать все 36 комбинаций, что сделано в следующей таблице.
ba
Из таблицы видно, что сумма 6 встречается 5 раз. Искомая вероятность равна Для интереса выпишем вероятности px для всех сумм x от 2 до 12:
3. Вероятность суммы несовместных событий.
С помощью примера 1 можно проиллюстрировать еще одно простое, но важное свойство вероятности, которое мы обсудим в следующем примере.
Пример 2 Бросают две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме на них выпадет не больше четырех очков? Сложное событие (выпадает не больше четырех очков) можно разбить на более простые: выпадет 2, 3 или 4 очка. При этом важно следующее: если произошло сложное событие (выпало не более четырех очков), то произошло хотя бы одно из более простых событий (выпало 2, или выпало 3, или выпало 4 очка); никакие два из них не могут произойти одновременно (эти события несовместны). В таком случае говорят, что событие А (выпало не более четырех очков) представлено в виде суммы несовместных событий А2 (выпало 2 очка), А3 (выпало 3 очка) и А4 (выпало 4 очка). Ясно, что рА = р2 + р3 + р4 =
Итак, можно сформулировать следующее свойство вероятностей:
Если событие А можно представить в виде суммы нескольких попарно несовместных событий, то его вероятность равна сумме вероятностей этих событий (теорема о сумме вероятностей).
Применение этого правила требует отчетливого осознания того, что означает сумма событий и что означает их несовместность. Заметим, в частности, что если достоверное событие (например, мы бросили пару игральных костей и выпадет какое-нибудь число) разбить в сумму попарно несовместных событий (получим одну из сумм от 2 до 12), то сумма вероятностей этих событий равна единице: р2 + р3 + … + р11 + р12 = 1.Этим правилом часто пользуются при проверке того, все ли случаи учтены при переборе исходов. Например, если, вычисляя вероятности различных (несовместных между собой) исходов, мы видим что их сумма меньше единицы, это означает, что какой-то возможный исход оказался неучтенным.
рА 
Действительно, если m исходов благоприятны для события А, то остальные n – m – неблагоприятны. Событие В как раз и состоит в наступлении одного из этих n – m исходов, т. е. 
