Метод крамера

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример[править]

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители:

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице :

Так как , получаем . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор , действительно обратное правило: система имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если . Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной СЛАУ[править]

Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Далее найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

4)График функции

Для построения графика функции нужно исследовать её свойства. Прежде всего надо найти область определения функции, а потом исследовать функцию на четность и периодичность. Т.к. график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной - относительно начала координат, то для четных и нечетных функций можно ограничится исследованием их свойств лишь при х?0. Если периодическая и Т – её основной период, то можно ограничится исследованием свойств функции на промежутке длинны Т.

Далее полезно найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции. Дело в том , что если, скажем, на интервале (a; b) функция y=f(x) принимает только положительные значения, то график её на этом интервале лежит выше оси Ох. Значит, часть плоскости, лежащею под указанным интервалом, можно заштриховать – там графика нет. Эта часть исследования позволяет указать области, где может лежать график функции. После этого можно изучить поведения функции на границах области определения, установить характер точек разрыва (если они есть), найти асимптоты. Наконец следует найти промежутки возрастания и убывания функции и исследовать её на экстремум.

Подводя итог всему сказанному выше, получаем следующую схему исследования свойств функции и построения ее графика.

1. Найти область определения функции,

2. Исследовать функцию на четность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат.

5. Определить промежутки знакопостоянства.

6. Исследовать функцию на границах области. Найти асимптоты.

7. Исследовать функцию на экстремум.

8. Составить таблицу значений функции для некоторых значений аргумента.

9. Используя все полученные результаты ,построить график функции.

График функции y=(x+1)/(x^2-6x+8) (очень подробно расписывать не буду)
1)область определения
знаменатель (x^2-6x+8) не равен нулю
x<2, 2<x<4,>4
2) первая производная=
= - (x^2+2x-14) / (x^2-6x+8)^2
3) точки пересечения с осью Ox (приравняй всю функцию к нулю)
x=-1
4)точки пересечения с осью Oy ( вместо x подставь в функцию 0)
y=0,125
5)вертикальные асимптоты (приравняй знаменатель к 0)
x=2
x=4
6) горизонтальные асимптоты
y=0
7)критические точки (sqrt - это корень)
приравняй производную функции к 0
x=-1+sqrt15
x=-1-sqrt15
8) точки разрывы(=вертикальные асимптоты_
x=2
x=4
9) симметрия относительно оси ординат - нет
симметрия относительно начала координат - нет

да!
еще надо найти интервалы возрастания и убывания