Производная сложной функции нескольких переменных

Пусть задана сложная функция с двумя промежуточными и одним основным аргументом z=f(x;y), x=x(t), y=y(t). Требуется вычислить производную z’_t . отметим. Что это полная производная, т.к. фактически это функция одного переменного. Пусть переменная t получила приращение t. Тогда соответствующие приращения получат и функции х и у, зависяшие от t, а вместе с ними и функция z получит полное приращение z= f’_x(х;y) х+ f’_у(х;y) у. Разделим полученное приращение на t и вычислим предел этого отношения при tà0. Тогда получим f’_t = f’_x x’_t+ f’_у y’_t -формула для вычисления производной сложной функции данного типа.

Если же задана сложная функция с двумя промежуточными и двумя основными аргументами z=f(x;y), x=x(t,s), y=y(t,s), тогда можно использовать уже разработанный алгоритм вычисления частных производных и получить формулы f’_t = f’_x x’_t+ f’_у y’_t ; f’_s = f’_x x’_s+ f’_у y’_s или в других символах

= + и = + . В последних записях отметим справедливость предупреждения о том, что частные производные – это не дроби, а единые символы. В противном случае полсе сокращения справа было бы получено две частные призводные , равные одной производной слева!

Если от функции нескольких переменных взяты частные производные, то они сами будут функциями от тех же аргументов. Естественно попытаться поставить вопрос о производных от частных производных.

Определение. Частная производная от частной производной порядка n-1 от данной функции называется частной производной порядка n от данной функции.