Решение

Решение этой задачи базируется на материале лекций 8-10.

1. Область определения данной функции определяется условием:

.

Итак, D(y) = .

2. Произведем исследование функции на экстремумы и интервалы монотонности. Вычисляем производную:

.

Приравнивая производную к нулю, получаем уравнение:

.

Находим корни этого уравнения: (критические точки).

Строим таблицу, как это сделано в примерах 21-25 на стр. 32-34.

x					c			c+3
	+		–	–		–	–		+
y					b
		max			нет ext			min

3. Найдем асимптоты графика исследуемой функции. Так как наша функция является рациональной дробью, то по теореме 21, стр. 36, она имеет вертикальные асимптоты в корнях знаменателя, которые не являются корнями числителя. Параметры a, b и c во всех вариантах подобраны так, что числа и не являются корнями числителя. Поэтому прямые и являются вертикальными асимптотами графика исследуемой функции.

Из теоремы 21 следует, что у рациональной дроби левосторонние и правосторонние наклонные асимптоты совпадают (если они вообще есть). Вычисляем:

;

.

Таким образом, – наклонная асимптота.

4. Проведем исследование на выпуклость. Найдем вторую производную заданной функции:

.

Приравнивая вторую производную к нулю, находим единственную точку, подозрительную на перегиб: . Составляем таблицу для второй производной, как это сделано в примерах 32-34 на стр. 41-42:

x			c
	–	+		–	+
y			b
			перегиб

5. Построим теперь график функции. Его надо строить поэтапно, как это делалось в примерах из лекций 8-10. Приблизительно вид графика будет такой:

(при выполнении работы на график нужно нанести все критические точки и точки перегиба, а также построить асимптоты).