Ряд 
, где 
постоянные коэффициенты, называется степенным. Очевидно, этот ряд есть частный случай функционального ряда, следовательно, не обязательно сходится при любых 
. Естественно, представляет интерес определение области сходимости степенного ряда, то есть то множество значений аргумента 
, при которых ряд сходится.
Теорема. Степенной ряд 
сходится абсолютно в области 
, где 
, и расходится в области 
.
Доказательство. Поскольку , да и 
не обязательно положительны, ряд, вообще говоря, является знакопеременным. Чтобы доказать абсолютную сходимость ряда, необходимо рассмотреть ряд из абсолютных величин членов этого ряда 
. Теперь к знакоположительному числовому ряду применим признак Даламбера: 
, где 
. В соответствии с признаком Даламбера рассматриваемый ряд сходится при 
и расходится в области 
. Итак, область абсолютной сходимости степенного ряда 
, где 
. В области 
ряд расходится.
Вследствие этого, промежуток 
называется областью абсолютной сходимости степенного ряда, а 
называют радиусом его сходимости.
