Сходимость, равномерная сходимость ряда

Рассмотрим сходимость и равномерную сходимость остатка ряда , что несколько проще, но приводит к тому же результату. Используем для этого теорию числовых рядов. Пусть , тогда есть числовой ряд. Он может сходиться или расходиться. Пусть этот ряд сходящийся, тогда

.

Пусть при числовой ряд также сходится, тогда

.

Нетрудно понять, что один из этих рядов может сходиться медленнее, чем другой, следовательно, и не обязательно равны, то есть .

В результате, если остаток ряда сходится в некоторой области, то

,

отсюда следует, что при сходимости ряда в некоторой области для всех из этой области выполняется условие

Для некоторых рядов удается определить область, где выполняется условие

,

то есть значение одинаково для всех точек рассматриваемой области. В этом случае ряд называется равномерно сходящимся в этой области.

Покажем на примере, что некоторые ряды являются равномерно сходящимися, но есть и такие сходящиеся ряды, которые не сходятся равномерно.

Пример 1. Рассмотрим ряд

в области , где любое положительное число.

Легко установить, что данный ряд можно представить в виде

Подсчитаем ю частичную сумму ряда, предварительно раскрыв скобки, очевидно, . Определим сумму ряда . Поскольку , имеем , а .

Но в этом случае

,

откуда следует, что и, поскольку и положительные числа, то

, откуда имеем . Итак, установлено , начиная с которого выполняется условие сходимости остатка ряда. Следовательно, ряд в области сходится.

Если мы выберем , то при любых из заданной области, следовательно, условие

выполняется при любом , и не зависит от . Ряд в указанной области сходится равномерно.

Пример 2. Рассмотрим ряд

в области . Запишем , предварительно раскрыв скобки и произведя сокращения. Тогда . Сумма ряда в указанной области . Остаток ряда , причем . Определим , начиная с которого выполняется условие . Очевидно, в заданной области из следует . Логарифмируя, получаем . Поскольку в рассматриваемой области , . Итак, . При этом невозможно найти такое , не зависящее , чтобы выполнялось условие равномерной сходимости. Дело в том, что при , то есть с ростом число растет до сколь угодно больших величин. Отметим, что при не равным нулю остается только первый член. Итак, в области ряд сходится, но не равномерно.

Свойства равномерно сходящихся рядов

1. Если члены ряда - есть непрерывные в некоторой области функции, а ряд в этой области сходится равномерно, то сумма ряда - непрерывная в этой области функция.

2. Если члены ряда непрерывные в области функции и ряд сходится в ней равномерно, то его можно почленно интегрировать в любых пределах, лежащих в указанном промежутке, причем

.

3. Если ряд сходится в промежутке , и его члены имеют непрерывные в этом промежутке производные , причем ряд из производных сходится в равномерно, то ряд также сходится равномерно, и его можно дифференцировать почленно, причем

.