Замечания.

1). Признак Даламбера не работает, если предел равен единице, следовательно, он неприменим при ( ). Исследование сходимости рядов в этих точках производится отдельно.

2). При выведении формулы радиуса сходимости степенной ряд считался "полным", то есть в нем присутствовали все целые, положительные степени . Если ряд не содержит всех степеней , формула для радиуса сходимости будет неверной. В этом случае при исследовании сходимости каждого конкретного степенного ряда следует составить ряд из модулей его членов, после чего применить признак Даламбера. Очевидно, такую процедуру можно применять и при определении области сходимости и "полных" рядов.

Пример 1.

. Ряд "полный", его можно исследовать двумя способами.

Первый способ.

Итак, .

Второй способ. Рассматривается ряд . Пусть общий член этого ряда, тогда . Применяем признак Даламбера

Естественно, получается тот же результат.

Исследуем граничные значения области сходимости.

При получаем числовой ряд . Ряд знакоположительный, его члены меньше членов сходящегося ряда , следовательно, он сходится.

При имеем знакочередующийся числовой ряд . Рассмотрим ряд из модулей его членов , но это сходящийся ряд, что мы только что подтвердили, следовательно, знакочередующийся ряд сходится абсолютно. Итак, область абсолютной сходимости исследуемого ряда . При остальных значениях ряд расходится.

Пример 2. Ряд "неполный", так как содержит только нечетные степени . Применяем второй способ, рассмотрев ряд из абсолютных величин членов исходного ряда . Применим к нему признак Даламбера. Общий член ряда , тогда . Подсчитаем предел

Получаем область сходимости или .

Исследуем граничные точки:

при имеем . Знакоположительный ряд расходится, что следует из сравнения его с расходящимся рядом с помощью второй теоремы сравнения. Предел отношения членов этих рядов . Поскольку значение предела больше нуля и меньше бесконечности, ряды ведут себя одинаково. Очевидно, расходится и получившийся на границе знакоотрицательный ряд;

при имеем . Это знакочередующийся ряд, он сходится условно, так как .

Итак, область сходимости ряда .

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда в области (промежутке) его сходимости есть непрерывная функция.

2. Степенной ряд в его области (промежутке) сходимости можно почленно интегрировать, причем сумма нового ряда равна интегралу от суммы исходного ряда.

3. Степенной ряд в промежутке его сходимости можно почленно дифференцировать, сумма продифференцированного ряда равна производной суммы исходного ряда.

Примечание. Часто встречаются степенные ряды, более общего вида