Определения

Ряды в настоящее время представляют собой особо широко используемый математический аппарат для точного и приближенного решения различных уравнений.

Определение 1. Рядом называется сумма некоторой последовательности, другими словами ряд – есть сумма бесконечного числа членов, каждый из которых является элементом заданной последовательности.

Ряды бывают двух видов:

1) числовые ряды, если каждый член ряда – число, в этом случае

,

причем в правой части записан числовой ряд, в левой части – его сокращенное обозначение, здесь означает суммирование членов ряда от первого до сколь угодно большого, общий ( й) член ряда.

2) функциональные ряды, когда каждый член ряда есть функция:

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если его сумма имеет конечное значение, если сумма ряда не существует, или равна бесконечности, ряд – расходящийся.

Определение 3. Сумму первых членов ряда называют частичной суммой ряда .

Очевидно, сумма ряда определяется формулой . Однако применение этой формулы сопряжено с большими, порой непреодолимыми, трудностями. Далеко не всегда удается в компактной форме записать ю частичную сумму ряда, а, следовательно, вычислить ее предел. Почленное суммирование ряда - еще менее перспективная процедура, бесконечное число членов не просуммируешь.

Вследствие этого точное значение суммы ряда можно установить в очень небольшом числе случаев.

Приведем пример геометрической прогрессии

,

знаменатель которой .

Известна сумма первых членов этого ряда . Вычислим ее предел . Если , то , следовательно, . При , и . Ряд расходится. При ряд также расходится. Итак, подтверждается утверждение, что геометрическая прогрессия сходится при и расходится при .

В большинстве случаев приходится вычислять суммы рядов приближенно, но для этого необходимо знать, существует ли конечное значение этой суммы, то есть сходящийся ли ряд.

Теория рядов, следовательно, создана для установления сходимости или расходимости рядов. При необходимости сумму сходящегося ряда вычисляют приближенно, расходящиеся ряды практической ценности не представляют.