Задача 1.

Производственная функция P = (Lw)0,5.

Цена продукта равна 18, численность персонала 46.

Найти ставку зарплаты, при которой прибыль максимальна.

Решение:

1. Выручка равна: 18•460.5w0,5.

2. Затраты равны количество персонала умноженного на среднюю заработную плату: 46w

3. Прибыль равна выручка минус затраты: Pr=18•460.5w0,5-46w

4. Дифференцируем выражение для прибыли по заработной плате и приравниваем его нулю, получаем:

dPr/dw = d(18•460.5w0,5-46w)/dw =(18•46^0,5/ 2√w) -46 = 0

(18•46 ^0,5 / 2√w) = 46

5. Ставка зарплаты, при которой прибыль максимальна:

√W= 18*46^0,5/2*46 = 122,4/92=1, 33

W = 1,15

Задача 2.

Производственная функция P=Lw0,5. Цена продукта равна 18:

а) Найти ставку зарплаты, которая обеспечивает максимум прибыли при неизвестной численности персонала.

б) Найти максимальную прибыль, если численность персонала 10.

Решение:

а) Найдем ставку зарплаты, которая обеспечивает максимум прибыли при неизвестной численности персонала.

1. Выручка равна: 18•Lw0,5.

2. Затраты равны количество персонала умноженного на среднюю заработную плату: Lw

3. Прибыль равна выручка минус затраты:

Pr=18•Lw0,5- Lw

4. Дифференцируем выражение для прибыли по заработной плате и приравниваем его нулю, получаем:

dPr/dw = d(18•Lw0,5- Lw)/dw = (18L/2√w) –L=0

5. Ставка зарплаты, при которой прибыль максимальна:

W= ((18/2)/1)²= 81

б) Найти максимальную прибыль, если численность персонала - 10.

1. Выручка равна: 18•10w^0,5.

2. Затраты равны количество персонала умноженного на среднюю заработную плату: 10w

3. Прибыль равна выручка минус затраты:

Pr=18•10w^0,5- 10w

4. Дифференцируем выражение для прибыли по заработной плате и приравниваем его нулю, получаем:

dPr/dw = d(18•10w^0,5- 10w)/dw = (18(10)/ 2√w) – 10=0

5. Ставка зарплаты, при которой прибыль максимальна

W = (18 *10/2 *10)²=81

6. Максимальная прибыль составит:

Pr=18•10(81)^0,5- 10(81)=810

Задача 3.

Производственная функция P = (Lw)^0,5.

Цена продукта равна 8.

а) При каких издержках производителя прибыль максимальна?

б) Найти максимальную прибыль.

Решение:

а) Найдем издержки производителя, при которых прибыль максимальна.

1. Под издержками производителя будем понимать его затраты на персонал, т.е. Lw, приравняем издержки Х=Lw

2. Прибыль равна выручка минус затраты:

Pr=8(X)0,5-Х

3. Дифференцируем выражение для прибыли по издержкам производителя и приравниваем его нулю, получаем:

4. Издержки (затраты) производителя, при которой прибыль максимальна:

Х=(4)²=16

б) Найдем максимальную прибыль.

Максимальная прибыль составит:

Pr=8(X)0,5-Х=8(16)0,5-16=16