Кубическая производственная функция хорошо отражает как увеличивающуюся, так и уменьшающуюся предельную производительность, имеющую место, при единственном переменном вводимом факторе производства.
Если специфический вводимый фактор производства отсутствует, то никакой продукции выработано быть не может и, следовательно, постоянный параметрабудет равен нулю. В таком случае кубическая производственная функция обнаруживает следующие свойства.
Средний выпуск продукции. При отсутствии в кубической функции параметра а средний выпуск продукции APХ для кубической производственной функции может быть выражен в следующем виде:
(5)
т.е. представляет собой квадратичную функцию. Стадия 2 начинается в точке пересечения кривых APХ и MPХ, где величина среднего выпуска продукции APХ максимальна и равна величине предельного продукта MPХ.
Предельный продукт также представляет собой квадратичную функцию:
(6)
88+20Х+3*0,09=88,27 +20Х
20Х=-88,27
Х=4,413
Поскольку параметр d в кубической производственной функции всегда отрицателен, предельный продукт MPХ вначале увеличивается, а затем уменьшается.
Эластичность. В отсутствие параметра а эластичность производства может быть выражена в виде:
(7)
88+20+0,27Х2/88 +10+0,09Х2
108+0,27Х2/98+0,09Х2
Поскольку указанное отношение изменяется по величине при изменении величины X, эластичность различна в любой точке кривой общего выпуска продукции.
Равновесие производства, минимизация издержек
Вами принято решение применить свои знания и опыт в области коммерческой деятельности для того, чтобы помочь одному из предпринимателей наладить работу обувной фабрики.
После изучения производственных показателей фабрики за последние годы ее работы вы собрали статистические данные для построения зависимости уровня выпуска обуви Q от количества персонала, занятого в производстве, L. Полученные точки вы нанесли на плоскость Q0L. Как видно из рис. 2., размещение реальных точек на плоскости может быть хорошо описано (аппроксимировано, приближено, подогнано) кубической производственной функцией.
При этом, когда дополнительный вводимый фактор производства отсутствует, то никакой продукции выработано быть не может. Это очевидно, если производственный персонал на фабрике отсутствует, т.е. L=0 - некому производить обувь. Следовательно, постоянный параметр a будет равен нулю. В результате производственная функция будет иметь вид:
(8)
т.к. a=0, то при условии L=0, функция Q=0.
Q=88L+10 L2-0,09L3
Рис. 2.Производственная функция обувной фабрики Q=f(L)
Q=88L+10L2-0,09L3, где Q - уровень выпуска обуви в месяц; L - количество рабочих (производственный персонал).
Для того, чтобы определить, какое количество рабочих L необходимо иметь на фабрике для обеспечения максимальной эффективности производства, давайте определим, что такое максимальная эффективность производственной функции.
Максимальная эффективность производства имеет место, когда величина среднего выпуска продукции APХ максимальна. Этому условию соответствует точка, в которой APХ=MPХ (см. рис. 3.), т.е. когда:
Рис. 3.Соотношения среднего выпуска продукции APL и предельного продукта MPL.
Группируя подобные члены, получим:
cX+2dX2=0
Вынося общий множитель за скобки, получим выражение:
X(c+2dX)=0
Следовательно, величина X имеет два возможных значения:
X=0 и X=-c/2d
Х=0 и Х=-10/2*-0,09=55,55
Второе решение указывает, какое количество вводимого фактора производства X следует ввести в технологический процесс, чтобы вводимые ресурсы использовались наиболее эффективно. В нашем случае вводимый фактор X=L- количество рабочих.
При указанном значении вводимого фактора уровень выпуска продукции составил бы:
Q=88(56)+10(56)2-0.09(56)3 ≈20 483 пар обуви в месяц.
Средняя месячная норма на одного работника составила бы:
APL=Q/L=20483/56≈366 пар обуви на одного работника в месяц.
Или
APL=b+cL+dL2=88+10(756)-0.09(56)2≈366
Предельный продукт может быть вычислен по формуле:
MPL=88+2(10)(56)+3(-0,09) (56)2≈361
MPL численно должен быть равен среднему выпуску продукции APL при указанном значении вводимого фактора производства L, но на самом деле это равенство не наблюдается.
Причина этого - округление полученных значений. Количество производственного персонала, количество пар обуви не может быть выражено дробным числом.
Ответим на последний вопрос - сколько максимально необходимо привлечь производственного персонала, чтобы на имеющихся производственных площадях, технологическом оборудовании и с данной технологией производства обуви достичь максимального уровня выпуска продукции (пар обуви) в месяц?
Чтобы найти указанный уровень вводимого фактора L, представим функцию предельного продукта в обычном виде, приравняем ее нулю:
Решим полученное уравнение относительно L с помощью общей формулы для корней квадратного уравнения:
т.е. А=3d, В=2с и С=b. При MPL=0 (т.е. при таком значении вводимого фактора L, когда уровень выпуска продукции максимален), на рисунке это наглядно видно – график функции MPL пересекает ось абсцисс.
Lmax=-20+22/-0,54=-3,7
Lmax = -20-22/-0,54=77,77=78
Поскольку отрицательное значение вводимого фактора производства физически невозможно, единственно возможный ответ таков: для достижения максимального уровня выпуска продукции уровень вводимого фактора производства L должен быть равен 78 рабочим.
При указанном значении вводимого фактора уровень выпуска продукции составил бы:
Qmax=88(78)+10(78)2-0.07(78)3 ≈ 24994 пар обуви в месяц
(5)
(6)
(7)
(8)
