Комбинация переменных вводимых факторов производства с наименьшими издержками на единицу продукции достигается в том случае, когда стоимость любого переменного вводимого фактора суммируется с общим выпуском продукции как стоимость любого другого переменного вводимого фактора производства в денежных единицах.
В соответствии со сказанным и если мы примем, что MPА выражает количество предельного продукта A, a PA - цену предельного продукта А, и воспользуемся аналогичной символикой для прочих вводимых факторов производства В, С, ... , N, то в таком случае уравнение минимальных издержек может быть представлено в виде:
Это уравнение выражает правило минимальных издержек. Вывод этого уравнения аналогичен методу кривой безразличия, применяемому при анализе спроса. Предположим, что у нас имеются два вводимых фактора производства, а именно: труд (рабочая сила) L(вместо A) и капитал С (вместо В). Выполнив перекрестное умножение, мы получим следующее выражение:
Это уравнение может быть легко распространено на любое количество вводимых факторов производства и, таким образом, превращается в уравнение минимальных издержек.
Чтобы наглядно показать, как определяется оптимальная комбинация вводимых факторов производства, примем в качестве исходной производственную функцию:
P=k Lβ1Cβ2
Исходные данные возьмем из таблицы 5. для варианта 1. Коэффициент k=4,46 (колонка 1), привлеченный труд – L, его коэффициент β1=0,34 (колонка 2), привлеченный капитал C, его коэффициент β2=0,66
Подставив эти значения в уравнение производственной функции, получим:
P=k Lβ1Cβ2= 1.01L0.75C0.25
Предположим, что цена труда (рабочей силы) равна PL=15 долл. за единицу , а цена капитала PC =1 долл. за единицу.
Предприятие смогло привлечь (занять) денежную сумму в размере VC=1000 долл.
Решение:
Определим численные значения предельных продуктов труда и капитала, используя которые можно будет применить правило найма рабочей силы при наименьших издержках.
Для чего продифференцируем производственную функцию по L:
Правило найма рабочей силы при наименьших издержках
может быть также представлено в виде:
Следовательно, 0,515C/L=15/1
C/L=29,12
Выразим С, мы получим:
C=29,12L
Из последнего соотношения видно, что независимо от количества единиц изделий, которые должны быть произведены, производитель всегда должен использовать две единицы капитала на каждую единицу труда.
Изложенная ранее процедура определения оптимального соотношения вводимых факторов производства (с использованием частных производных для определения предельных продуктов) может быть с успехом использована для исследования производственных функций любого вида, включая степенную функцию.
Степенная функция обладает особыми свойствами, которые дают возможность воспользоваться значительно более легкой и удобной для вычислений упрощенной формулой. Эта упрощенная формула в общем виде, может быть представлена как:
где X1 и X2 - количества двух различных вводимых факторов производства.
Применяя общее уравнение к нашей конкретной задаче и полагая X1 = С, a X2 = L, мы получаем тот же самый ответ при значительно меньших затратах времени на вычисления. Если некоторая степенная функция содержит больше двух переменных вводимых факторов производства, то в таком случае упрощенная формула может быть использована для вычисления оптимального соотношения любой пары одновременно изменяющихся вводимых факторов, которые входят в эту степенную функцию.
C/L = (0,66/0,34)*(15/1)=29,12
откуда
C=29,12L
L=0.034C
После того, как найдено оптимальное соотношение вводимых факторов производства, максимальное количество единиц изделий, которое может быть произведено, определяется той суммой денег, которой располагает производитель для найма рабочей силы или для приобретения прочих вводимых факторов. Поскольку в настоящей задаче стоимость труда составляет 15 долл. за единицу, а стоимость капитала - 1 долл. за единицу, то в таком случае общие издержки составят:
TC=L*PL+C*PC=15L+1C
Предположим, что мы располагаем возможностью затратить на приобретение рабочей силы и капитала максимум 3344 долл. Тогда
15L + 1C = 3344.
Но поскольку С=29,12L постольку, подставляя вместо величины С выражение 29,12L мы получим:
15L+ 1(29,12L)=44,12L=3344;
L=3344/44,12=75,8;
C=29,12L=2207
L=0,034C=0,034*2207=75,038
Если мы подставим два последних результата в исходное уравнение, то получим:
