Понятие определителя матрицы

Квадратной матрице -го порядка ставиться в соответствие число , называемое определителем матрицы или детерминантом.

Свойства определителей (все, что будет сказано относительно строк, будет относиться и к столбцам).

1. При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:

Например, известно, что определитель матрицы равен 3. Тогда определитель матрицы , которая равна , также равен 3.

2. Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

Например,

3.

То есть, если квадратная матрица -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на число в степени, равной порядку матриц.

Задание. Пусть определитель матрицы третьего порядка равен 3, вычислить определитель матрицы .

Решение. По свойству .

4. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых,

то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

5. Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Например,

6. Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Например,

7. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Например,

8. Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Например,

9. Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Пусть задан определитель третьего порядка . Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не измениться:

10. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

11. Определитель произведения матриц равен произведению определителей: