Умножение матриц

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Задание. Вычислить и , если

Решение. Так как , а , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица , а это матрица вида .

Вычислим элементы матрицы :

Итак, .

Выполним произведения в более компактном виде:

Найдем теперь произведение . Так как количество столбцов матрицы (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Элементарные преобразования над строками матрицы.
Эквивалентные матрицы

Элементарными преобразованиями над строками матриц называются следующие преобразования строк:

1. умножение строки на ненулевое число;

2. перестановка двух строк;

3. прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число.

Если от матрицы к матрице перешли с помощью эквивалентных преобразований над строками, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначают .

Примеры элементарных преобразований

Продемонстрируем все элементарные преобразования на примере матрицы

Умножим первую строку матрицы на два, то есть каждый элемент первой строки умножаем на двойку, в результате получим матрицу , эквивалентную заданной матрице :

Поменяем первую и вторую строки матрицы местами, получаем эквивалентную ей матрицу :

От первой строки матрицы отнимем вторую строку, получаем эквивалентную матрицу :

В итоге делаем вывод, что матрицы и эквивалентны, так как от одной из них перешли к другой при помощи эквивалентных преобразований над строками.