Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида , где и – некоторые действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Частное решение этого уравнения будем искать в виде , где – постоянное число, которое необходимо определить. Дифференцируя , получаем и . Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

Множитель отличен от нуля, поэтому можно разделить на него обе части уравнения и получить эквивалентное уравнение , из которого можно определить значения параметра . Уравнение называется характеристическим уравнением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Для построения характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные , и функцию заменить на соответствующие степени параметра , рассматривая при этом функцию как производную нулевого порядка.

Теорема. Если и ‑ частные решения уравнения , то есть общее решение этого уравнения.

Для определения частных решений и следует предварительно решить характеристическое уравнение:

.

Корни характеристического уравнения равны .

При решении данного квадратного уравнения возможны три случая:

1. , тогда характеристическое уравнение имеет два различных корня и . При эти функции являются линейно-независимыми. Действительно, если допустить обратное, то должно выполняться соотношение , где хотя бы один из коэффициентов или отличен от нуля. Следовательно, можно получить тождество , что противоречит здравому смыслу, поскольку левая часть равенства изменяется с изменением , в то время как правая часть постоянна. Таким образом, общее решение для этого случая имеет вид .

2. , тогда характеристическое уравнение имеет единственный кратный корень . Поэтому частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид . Всякое другое частное решение линейно независимое с будет иметь вид , где – некоторая функция от , не являющаяся тождественно постоянной. В результате дифференцирования получаем:

Подставляя , и в исходное уравнение после сокращения на общий множитель , получим или . Поскольку, по условию , получаем . Отсюда и , где и – произвольные постоянные. Следовательно, . Поскольку, является частным решением и постоянные и являются произвольными, можно принять и , при этом .

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид: .

3. , тогда характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни . В этом случае частные решения дифференциального уравнения будут иметь вид и , а общее – .

Корни характеристического уравнения Частные решения Общее решение

Действительные

Действительные

Комплексно-сопряженные

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Составим характеристическое уравнение: . Корни этого уравнения различные и действительные и , поэтому ‑ частные решения этого уравнения, тогда ‑ общее решение данного уравнения.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Корни характеристического уравнения ‑ действительные и равные: , поэтому частные решения ‑ . Тогда общее решение уравнения: .

Для определения частного решения в равенства и подставим начальные условия.

Получим: .

Подставив эти значения в общее решение, найдем частное .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: . В этом случае . Общее решение будет: .