Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Доказательство. Пусть есть общее решение уравнения , а – некоторое частное решение уравнения . Если подставить решения в соответствующие исходные уравнения получим: и . Складывая почленно, приходим к равенству: . Отсюда ясно, что функция будет общим решением уравнения , поскольку оно содержит две независимые произвольные постоянные и .

Поскольку решение однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами рассматривалось ранее, то необходимо только указать способ нахождения частного решения .

I. Правая часть уравнения является показательной функцией . Тогда частное решение также ищется в виде показательной функции , где – неопределенный коэффициент. Отсюда, и . Подставив в исходное уравнение и сократив на , получим .

Возможны два случая:

· не является корнем характеристического уравнения, т.е. , тогда и, следовательно, ;

· Если – простой корень, то решение следует искать в виде ; если – кратный корень, то решение следует искать в виде .

II. Правая часть уравнения является тригонометрическим полиномом . Тогда частное решение этого уравнения ищется также в форме тригонометрического полинома , где и – неопределенные коэффициенты. Дифференцируя получим:

; .

Подставив в исходное уравнение и сгруппировав коэффициенты при тригонометрических функциях, получим:

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при тригонометрических функциях должны быть равны между собой:

Из этой системы и определяются коэффициенты и . Эта система несовместна только в том случае, когда , (т.е. когда – корни характеристического уравнения). Тогда частное решение следует искать в виде .

III. Правая часть уравнения является полиномом, например, второй степени .

Тогда частное решение также следует искать в форме полинома второй степени . В результате дифференцирования получим , . Подставляя , и в исходное уравнение приходим к тождеству:

или

.

Так как два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны, то для определения коэффициентов , и получается система:

Если , то из этой системы для коэффициентов , и получаются вполне определенные значения. Частное значение в этом случае также будет вполне определено.

Если (характеристическое уравнение имеет простой нулевой корень), то система уравнений несовместна. В этом случае, полагая, что , частное решение следует искать в виде . Эта задача решается аналогично, если является полиномом какой-нибудь другой степени.

Линейные дифференциальные уравнения -го порядка

Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида:

Если , то уравнение называется однородным. В противном случае, если тождество не выполняется, уравнение называется неоднородным.

Для более компактной записи введем обозначение:

Свойства решений линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

1.Для любых функций и

;

2.Для любого числа и функции ;

3.Если , , …, – решения однородного дифференциального уравнения, а – частное решение неоднородного дифференциального уравнения, то для любых чисел , , …, функция является решением неоднородного уравнения.

Для построения общего решения линейного дифференциального уравнения необходимо обобщить понятие линейной независимости на систему функций.

Определение. Система функций , , …, называется линейно независимой на множестве , если тождественное равенство имеет единственно возможное решение .