Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка 
с непрерывными коэффициентами 
и 
.
Предположим, что 
и 
– частные (т.е. не содержащие произвольных постоянных) решения этого уравнения.
Определение. Два решения 
и 
называются линейно зависимыми, если можно подобрать числа 
и 
не равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т.е. 
.
В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения и называются линейно независимыми. Иными словами, если функции и линейно независимы и выполняется тождество , то числа и одновременно равны нулю.
Очевидно, решения и будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они пропорциональны друг другу, т.е. 
(или наоборот), где 
– постоянный коэффициент пропорциональности.
Понятие линейной независимости применимо к любой паре функций. Аналогично определяется линейная зависимость и линейная независимость нескольких функций.
Зная два частных линейно независимых решения линейного однородного уравнения, легко получить общее решение этого уравнения.
Теорема. Если и – линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка , то общее решение уравнения есть линейная комбинация этих частных решений, т.е. общее решение имеет вид 
, где 
и 
– произвольные конечные постоянные величины.
