Однородные дифференциальные уравнения

Дата добавления: 2015-01-16; просмотров: 2007; Нарушение авторских прав

Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.

Многочлен называется однородным степени , если все члены его имеют один и тот же порядок , т.е. для каждого члена выполняется условие .

Например, есть однородный многочлен степени 2. Интересно отметить, что если аргументы и однородного многочлена степени заменить пропорциональными величинами и , то в результате исходный многочлен будет умножен на величину, равную коэффициенту пропорциональности в степени , т.е. . Так, для приведенного выше полинома:

Это свойство положено в основу общего определения однородной функции.

Определение. Функция называется однородной функцией степени (или -го измерения), если для любого числа имеет место тождество .

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если коэффициенты и при дифференциалах переменных и – однородные функции одной и той же степени.

Пусть однородное дифференциальное уравнение имеет вид или . Записывая это уравнение в полных дифференциалах, получим .

При стоит коэффициент, равный единице, т.е. однородная функция нулевой степени. Следовательно, также должна быть однородной функцией нулевой степени. Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка является однородным тогда и только тогда, когда является однородной функцией нулевой степени. Другими словами, однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть преобразовано к виду .

Подстановка , где новая неизвестная функция, приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Если , то и . Подставляя в уравнение, получим: , т.е. или .

После интегрирования подставим вместо и получим общий интеграл данного уравнения.

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Разделив обе части равенства на , получим уравнение, правая часть которого есть функция отношения :

.

Положив в нем и , получим уравнение с разделяющимися переменными: .

Разделяем переменные: .

Интегрируя и подставляя вместо , получим общий интеграл исходного уравнения:

;

;

.

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.	\|	Линейные дифференциальные уравнения