Достатні ознаки збіжності позитивних числових рядів.

Ознаки порівняння з «еталонним» рядом:

1. Нехай дано два позитивні ряди і (a_n, b_n ³ 0 ) і виконується нерівність a_n £ b_n при будь-якому n, тоді із збіжності ряду виходить збіжність ряду , а з розбіжності ряду виходить розбіжність ряду .

2. Якщо для позитивних рядів і існує кінцева і відмінна від нуля

границя , то ряди і одночасно збігаються або розбігаються.

«Етолонні» ряди:

1) Розбіжний гармонійний ряд ;

2) Узагальнений гармонійний ряд ;

3) геометричний ряд .

3. Нехай дано два позитивні ряди і (a_n, b_n ³ 0 ) і виконується нерівність при будь-якому n, тоді із збіжності ряду виходить збіжність ряду , а із розбіжності ряду виходить розбіжність ряду .

Приклади:

1.Дослідити на збіжність ряд

Оскільки , а гармонійний ряд розбігається, то розбігається також і ряд .

2.Дослідити на збіжність ряд

Оскільки , а ряд збігається (як убиваюча геометрична прогресія), то ряд теж збігається.

3.Дослідити на збіжність ряд .

Порівнюємо цей ряд із збіжним рядом , загальними членами цих рядів

являються і . Застосовуємо граничну ознаку порів-няння . Ряд збігається.

4.Дослідити на збіжність ряд .

Порівнюємо цей ряд із розбіжним рядом , застосовуємо граничну ознаку порівняння . Ряд розбігається.

5.Дослідити на збіжність ряд .

Порівнюємо цей ряд із розбіжним рядом , застосовуємо граничну ознаку порівняння . Ряд розбігається.