Норма матрицы

Проблема собственных значений определена только для квадратных матриц. В экономической практике часто необходимо оценивать не только квадратные матрицы. Для такой оценки можно использовать универсальное понятие нормы, справедливое для матриц любой размерности.

Нормойпроизвольной матрицы А называется действительное число , удовлетворяющее целому ряду условий, наиболее важными из которых являются:

· , причем только в случае полностью нулевой матрицы А.

· , где .

В какой–то степени норму можно образно представлять как показатель «толщины» или «мощности» матрицы А.

Норма называется канонической, если , т.е. она не меньше, по модулю, любого элемента матрицы А. При выборе нормы возможно использовать самые разнообразные соображения, не противоречащие определению. Однако на практике обычно достаточно следующих канонических норм:

· m–норма – суммируются, по модулю, все строки матрицы А и максимальная из полученных сумм объявляется нормой.

· l–норма – суммируются, по модулю, все столбцы матрицы А и максимальная из полученных сумм объявляется нормой.

· k–норма = – суммируются квадраты всех элементов матрицы А и корень из этой суммы объявляется нормой.

Примеры решения задач

Свободное владение алгеброй матриц является предварительным условием для изучения методов профессиональной обработки дискретных моделей. Рассмотрим ряд примеров по операциям с матрицами.

1.Вычислить линейную комбинацию 3А+2В, если A= ; B= .

Решение:

2.Примеры на вычисление произведений:

;

.

Эти примеры полностью иллюстрируют учет размерности сомножителей в произведениях матриц. В дальнейшем размерности не приводятся.

3. Примеры на учет свойств транспонирования.

Пусть, , . Тогда

, ,.

.

В последних двух произведениях обратим внимание на обязательную симметричностьрезультата.

4. Обратить матрицу

Приведем все вычисления по пунктам:

· следовательно, заданная матрица имеет обратную .

· Вычисляем адъюнкты: А₁₁=7; А₂₁= –8; А₁₂= –3; А₂₂=2.

· Союзная матрица

· Обратная матрица:

· Проверка: – верно.

5. Обратить матрицу

· . Матрица – вырожденная, обратной не имеет.

6. Обратить матрицу

·

Матрица имеет обратную

· Адъюнкты:

· ; А₂₁= – = –32; А₃₁ = =10;

· А₁₂= – =0; А₂₂ = =20; А₃₂ = – = –15;

· А₁₃ = =0; А₂₃ = – =0; А₃₃ = =10.

· . Союзная матрица:.

· Обратная матрица:

· Проверка:

– верно