Решить систему уравнений с помощью обращения матрицы.

Перепишем в матричном виде: . Отсюда

Вычисляя обратную матрицу обычным путем (по образцу примера 4), получим

.
Таким образом,

Ответ: .

8.Решить матричное уравнение

В отличие от предыдущего примера, здесь ответом будет не вектор, а матрица. Имеем:

.

9.Решить матричное уравнение

Здесь для получения ответа следует умножить правую часть на обратную матрицу не слева, а справа. Вычисляя (по образцу примера 6) матрицу А^-1:

,получим

10. Вычислить квадрат матрицы
.

Решение:

11. Найти функцию , если и

Решение:.

12. Найти функцию , если и

С учетом формулы получим

13. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Составим характеристическое уравнение:

, отсюда и собственные значения

Найдем собственные векторы:

·

· В алгебраической форме остается одно уравнение .

· Полагая х₂ = 1, получим х₁ = 2. Таким образом, первый собственный вектор

· В алгебраической форме остается одно уравнение . Полагая , получим . Таким образом, второй собственный вектор

Проверим полученные собственные значения:

· , а след матрицы А Sр A = 1 + 4 = 5 – совпадают.

· , а произведение т.е. выполняется свойство

14. Вычислить все нормы матрицы

Модуль Тогда: = max (1+3+2; 4+5+1; 3+8+6)= max (6; 10; 17)=17;

= max (1+4+3; 3+5+8; 2+1+6)= max (8; 16; 9)=16;

15. Вычислить все нормы матрицы–столбца

Здесь и нормы: = max (1; 2; 3; 4) = 4; =max (1+2+3+4) = max (10) = 10;

16. Вычислить все нормы матрицы-строки .

Здесь нет отрицательных элементов. Поэтому:

= max (5+2+4+7)=18; = max (5; 2; 4; 7)= 7;

Особо отметим, что с учебной целью в примерах 14 – 16 вычислялись все нормы. На практике же обычно выбирается какая–то одна норма, с помощью которой и анализируется совокупность матриц или изменяемость данной матрицы в некотором процессе.

Вопросы для самоконтроля:

1. Определение матрицы. Виды матриц.

2. Равенство матриц.

3. Сложение матриц.

4. Умножение матрицы на число.

5. Умножение матриц.

6. Транспонирование матрицы и его свойства.

7. Обратная матрица и ее свойства.

8. Последовательность обращения матрицы.

9. Матричные уравнения.

10. Степень матрицы.

11. Функции от матриц.

12. Проблема собственных значений матрицы.

13. Вычисление собственных значений матрицы.

14. Свойства собственных значений матрицы.

15. Вычисление собственных векторов матрицы.

16. Норма матрицы – определение и применение.

17. Канонические нормы матриц.