Матричные уравнения

Любая система линейных уравнений может быть легко переписана в матричной форме:
или А = .

Умножим полученное матричное уравнение на матрицуА слева: А А = А , откуда = А , т.е. при известной матрице А можно получить решение для произвольных значений b в векторе . Относительно привычного нам вектора отметим, что можно решать и самые общие уравнения, в которых неизвестными являются уже не векторы, а матрицы, причем не всегда квадратные: АХ=В Х= А В;ХА=В Х= В А - здесь для получения ответа надо умножить уравнение на А справа.

Степень и функции матриц

Для квадратных матриц целая степень матрицы определяется так же, как и для обычных чисел: А =А А А ... А(n сомножителей). При этом полагается: А =Е; А =А.

В целом ряде случаев необходимо использовать отрицательную степень матрицы. Она может быть введена по правилу: А =(А ) .

С помощью этих формул можно решать задачи типа: если известен закон изменения f(x), то: определить f(A) - функцию от матрицы. Например, если f(x)=2x -3x+5, то f(A)= 2A -3A+5E. Если f(x)=4x + , то f(A)=4A +(A -2E) .

Ясно, что матрица Адолжна быть такой, чтобы все операции имели смысл. Единичная матрица Еиспользована для формального преобразования обычных чисел к матричной записи. По размерности она должна соответствовать матрице А.

Понятие о проблеме собственных значений матрицы

В большом ряде моделей процессов и в задачах анализа требуются как оценка имеющегося объекта, так и сравнение между собой различных моделей. Так как матрицы - один из наиболее распространенных способов описания экономических процессов и объектов, то использование их универсальных характеристик удобно для задач эталонного сравнения. Собственные значения и векторы и представляют собой такие характеристики.

Собственным векторомквадратной матрицы А называется вектор 0, удовлетворяющий матричному уравнению А = , где - собственное значение матрицы, соответствующее вектору .

Представим это равенство в виде

(А- Е) =0.

Чтобы это однородное матричное уравнение имело ненулевые решения , необходимо и достаточно равенство нулю определителя

D(А- Е)=0.

Это - характеристическое уравнение (степени n)для матрицы А.

Отсюда получаем сначала собственные значения , а затем собственные векторы . Общее число этих характеристик равно порядку n матрицы А.

Рассмотрим пример:

определить собственные значения матрицы А= .

Составим: А- Е= ; D(А- Е) = = 0 или

(2- )(3- )-2=0, откуда получим два собственных значения: =1; =4.

Определим собственные векторы для каждого :

· =1 =0, т.е. =0 или х +2х =0.

Собственный вектор определится с точностью до постоянного множителя с. Положим х =1, тогда х = -2 и =с .

· =4 =0 и х +2х =0. Полагая х =1, получим х =1 и вектор =с.

Вычисленные собственные значения обычно проверяются по их свойствам:

· Сумма собственных значений равна сумме диагональных элементов матрицы А(следу матрицы А): + +... =а +а +...+а .

· Произведение собственных значений связано с определителем D(A) матрицы Аформулой: ... =(-1) D(A).

· Если матрица А симметрична, то ее собственные значения всегда действительны, т.е. R.

Описанное выше, в целом, представляет собой полную проблему собственных значений - определяются все и для матрицы А. В большинстве же практических задач это не нужно - итоговое заключение делается по минимальному (или максимальному) собственному значению и соответствующему ему вектору. При этом нет необходимости решать сложное характеристическое уравнение полностью - надо найти только один нужный корень. Такая задача называется частичной проблемой собственных значений. Для ее решения имеются достаточно простые и быстрые методы.