ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

Для каждой квадратной матрицы А вводится число |А|, называемое ее определителем.

Для матрицы первого порядка определитель |А| равен ее элементу a₁₁.

Для матрицы второго порядка

Для матрицы третьего порядка

Знаки, с которыми слагаемые входят в эту формулу, легко запомнить, пользуясь следующей схемой, которая называется правилом треугольника, или правилом Саррюса (для знака «плюс» основания равнобедренных треугольников параллельны главной диагонали, для знака «минус» – параллельны побочной диагонали).

= -

Пример:

Определители матриц более высоких порядков вычисляются рекуррентным способом, т.е. переходом от больших порядков к меньшим. При этом используются понятия минора и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Минором M_ij элемента a_ij квадратной матрицы А = (a_ij) n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки j-го столбца.

Алгебраическим дополнением А_ijэлемента a_ij матрицы А называется его минор, взятый со знаком (-l)^i+j:

Таким образом, алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) – четное число, и отличается от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число. Например, А₂₃ = (-1)²⁺³ ×М₂₃ = -М₂₃; А₃₁ =(-1)³⁺¹ ×М₃₁ =М₃₁.

Для матрицы минором М₂₃ элемента а₂₃= -2 будет определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием второй строки и третьего столбца:

Определителем матрицы А называется сумма произведений элементов первой строки матрицы А на их алгебраические дополнения, т.е. (1)

Замечание. Вместо первой строки матрицы можно взять любую другую строку.

Пример: Вычислить определитель матрицы

Имеем: По определению алгебраических дополнений

Таким образом, |A|=1×7 + 0×7 + 4×0 = 7. Для сравнения найдем |A|, пользуясь правилом Саррюса: |A| = 1 × 2 × 5 + 0 × (-1) × 3 + (-2) × (-3) ×4 - 4×2×3 - (-2) ×0×5 - (-3) × (-1) × 1 = 10 + 0 + 24--24-0-3=7.

Отметим, что по формуле (1) вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей (n-1)-го порядка. В свою очередь, их вычисление последовательно сводится к вычислению определителей третьего (второго или первого) порядка.