Умножение матриц

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка.

Пусть А = , В = .

Произведением этих матриц называется матрица

С = АВ = .

Чтобы найти элемент первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т. е. и ) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. и ) и полученные произведения сложить;

чтобы найти элемент первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки ( и ) на соответствующие элементы второго столбца ( и ) и полученные произведения сложить; аналогично находятся элементы и .

ЗАДАНИЕ. а) Найти произведение матриц А и В и произведение ВА, если

А= , матрица В = .

Решение.

Матрица С = AB = =

Матрица S = BA= = .

б) Умножить матрицу на матрицу

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Правило нахождения матрицы-произведения распространяется на умножение прямоугольных матриц.

Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:

1) умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;

2) в результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

ЗАДАНИЕ. Найти произведение матриц и .

Решение. Имеем: матрица А размера 2x3, матрица В размера 3x3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны

с₁₁ = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с₂₁ = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с₁₂ = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с₂₂ =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с₁₃ = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с₂₃ = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

, а произведение BA не существует.

Пример . В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М₁, М₂ и М₃, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М₁ стоит 50 ден. ед., в магазин М₂ - 70, а в М₃ - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод Магазин

М₁ М₂ М₃

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через
В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

,

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

.

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.