Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А и В называют такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа , или квад­ратные порядка n.

Пусть A = , B = .

Тогда сумма матриц С = A+B имеет вид C = .

ЗАДАНИЕ. Найти сумму и разность матрицы А и В, если:

а) А = , В = ; б) А = , В = ;

в) А = , В = .

Решение: а) Здесь А и В - квадратные матрицы второго порядка. Складывая их соответствующие элементы, получим С = А+В = .

Вычитая получим H = А- В = .

б) Здесь А и В - прямоугольные матрицы типа 2 3. Скла­дываем их соответствующие элементы: С = А + В = .

в) Эти прямоугольные матрицы сложить нельзя, так как А есть матрица типа 3 2, а В - матрица типа 2 3; можно скла­дывать только прямоугольные матрицы одного типа.

Мы видим, что сложение матриц сводится непосредственно к сложению их элементов, являющихся числами. Поэтому на сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:

1) переместительный закон сложения: А+В=В+А, где А и В - либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямо­угольные матрицы одного типа ;

2) сочетательный закон сложения (A+В)+С=A+(B+С), где А, В, С - либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа .

3) поглощательный закон сложения А+0=А, т. е. существует такая нулевая матрица (того же порядка или типа), что ее сумма с матрицей А любого типа равна матри­це А.

4)Для любой матрицы А существует матрица -А, такая, что А+(- А) = 0,т.е. матрица, противоположная А.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен ka_ij, т. е. если А = , то кА = .

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

ЗАДАНИЕ. а) Умножить матрицу А = на число k = 3.

Решение. Умножая каждый элемент матрицы А на 3, по­лучим

3А = .

б) Даны матрицы . Найти:

Решение:Порядок действий очевиден, сначала выполняется умножение, затем сложение.

Сложение выполнить невозможно, поскольку матрицы разных размеров.

Пробуем вычислить второе выражение: