Вариант 1
1 Найти массу материальной кривой 
, 
, 
, с плотностью 
.
2 Найти работу 
переменной силы 
вдоль дуги астроиды 
, 
, 
.
3 Найти статические моменты относительно осей координат, центр тяжести и моменты инерции однородной пластинки, ограниченной линиями 
, 
.
4 Найти массу шара 
, если его плотность 
.
5 Найти площадь части поверхности параболоида 
, вырезанной цилиндром 
.
6 Вычислить интеграл 
, где 
– внешняя сторона поверхности куба 
, 
, 
.
7 Вычислить циркуляцию векторного поля 
вдоль контура 
.
8 Выяснить, является ли соленоидальным и потенциальным векторное поле 
.
9 Найти производную 
функции 
.
10 С помощью интегралов Эйлера вычислить 
.
Вариант 2
1 Найти массу материальной кривой 
, 
, , с плотностью 
.
2 Найти работу переменной силы 
вдоль дуги астроиды 
, 
, 
.
3 Найти статические моменты относительно осей координат, центр тяжести и моменты инерции однородной пластинки, ограниченной линиями 
, 
.
4 Найти массу шара 
, если его плотность 
.
5 Найти площадь части поверхности параболоида 
, вырезанной цилиндром 
.
6 Вычислить интеграл 
, где – внешняя сторона поверхности куба , , .
7 Вычислить циркуляцию векторного поля 
вдоль контура 
.
8 Выяснить, является ли соленоидальным и потенциальным векторное поле 
.
9 Найти производную функции 
.
10 С помощью интегралов Эйлера вычислить 
.
Примерный перечень вопросов к экзамену
(* отмечены вопросы, содержащие теорему с доказательством)
1 Определение евклидова пространства 
, сходимость последовательности точек в .
2 Подмножества пространства , компакт.
3 Предел функции многих переменных.
4* Повторные пределы.
5 Непрерывность функции.
6 Частные и полные приращения функции многих переменных.
7 Частные производные функции двух переменных и их геометрический и механический смысл.
8* Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
9* Дифференцируемость функций многих переменных, необходимое условие дифференцируемости.
10* Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных.
11.* Дифференцирование сложной функции многих переменных.
12 Полный дифференциал функции двух переменных и его геометрический смысл.
13* Теорема о равенстве смешанных производных.
14. Дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
15* Формула Тейлора для функции двух переменных.
16* Локальный экстремум функции многих переменных, необходимые условия локального экстремума.
17* Достаточные условия локального экстремума функции двух переменных.
18 Неявные функции двух переменных, определяемые одним уравнением, теоремы существования и дифференцирования.
19 Неявные функции многих переменных, определяемые системой уравнений, достаточное условие независимости.
20 Условный экстремум, метод исключения части переменных.
21* Необходимое условие Лагранжа условного экстремума.
22 Глобальный экстремум функции двух переменных на компакте.
23 Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла 1-го рода.
24 Определение и свойства криволинейного интеграла 1-го рода.
25 Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.
26 Задача о работе переменной силы.
27 Определение и свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
28 Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.
29* Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода.
30 Множества, измеримые по Жордану, критерий измеримости.
31 Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.
32 Определение и свойства двойного интеграла.
33* Вычисление двойного интеграла (случай прямоугольной области).
34* Вычисление двойного интеграла (случай криволинейной области).
35* Формула Грина.
36* Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.
37* Замена переменных в двойном интеграле, полярные координаты.
38 Задача о массе пространственного тела.
39 Определение и свойства тройного интеграла.
40 Вычисление тройного интеграла.
41 Замена переменных в тройном интеграле, цилиндрические координаты.
42 Замена переменных в тройном интеграле, сферические координаты.
43 Способы задания поверхности, простые поверхности, особые точки поверхности.
44 Касательная и нормаль к поверхности.
45 Площадь поверхности
46 Ориентация поверхности, односторонние и двусторонние поверхности.
47 Задача о массе изогнутой пластины.
48 Определение и свойства поверхностного интеграла 1-го рода.
49 Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода.
50 Задача о потоке жидкости.
51 Определение и свойства поверхностного интеграла 2-го рода.
52 Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода.
53 Связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го родов.
54* Формула Остроградского-Гаусса.
55* Формула Стокса.
56 Поверхности и линии уровня скалярного поля.
57. Производная по направлению скалярного поля, градиент.
58 Определение векторного поля, векторные линии.
59 Дивергенция векторного поля.
60 Циркуляция векторного поля и ее физический смысл.
61 Ротор векторного поля.
62* Определение и непрерывность собственных интегралов, зависящих от параметра.
63* Дифференцирование и интегрирование собственных интегралов, зависящих от параметра.
64 Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра.
65* Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.
66* Признак Дирихле равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.
67 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра (непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость).
68. Определение и свойства гамма-функции.
69 Определение и свойства бета-функции.
70* Преобразование Фурье и его свойства.
