В инете простого объяснения не нашёл, поэтому своими словами...
Есть матрица
|a11 a12 a13|
А= |a21 a22 a23|
|a31 a32 a33|
собственные значения этой матрицы - это корни "векового" или характеристического уравнения: определитель следующей матрицы равен нулю
|(a11-k) a12 a13 |
| a21 (a22-k) a23 | = 0
| a31 a32 (a33-k)|
или в общем виде: det(A-kE)=0, где E-единичная матрица.
Количество корней этого уравнения или собственных значений равно порядку матрицы. В данном примере матрица третьего порядка, значит собственных значений три (k1, k2, k3).
К данному уравнению сводятся некоторые технические задачи, например, задача на определение частот собственных колебаний системы с несколькими степенями свободы. В этом случае, коэффициенты aij - это смещения сосредоточенных масс от единичных инерционных сил, приложенных в направлении их движения умноженные на величины этих масс, а собственные значения ki = 1/wi^2, где wi - частоты собственных колебаний.
Теорема. В треугольной матрице элементы, стоящие на главной диагонали, и будут являться собственными значениями матрицы.
Если 
– собственное значение А, то собственными векторами А, принадлежащими собственному значению , будут ненулевые решения системы
, (6)
, где 
.
Собственным вектором квадратной матрицы M называется вектор 
, который удовлетворяет соотношению 
, где 
— собственное значение, соответствующее данному собственному вектору.
