Элементы алгебры матриц.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется -матрица , элементами которой являются суммы соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом С=А+В если для всех .

Пример 1.3. Вычислить сумму матриц

Решение.

;

Замечание. Матрицы разных размеров складывать нельзя.

Определение 1.3.Чтобы умножить число на матрицу нужно каждый элемент матрицы умножить на число .

Определение 1.4.Выражение , где -числа, а - матрицы называют линейной комбинацией матриц и .

Правило 1. Умножение вектор строки на вектор – столбец.

Чтобы перемножить вектор- строку на вектор-столбец с одинаковым числом элементов нужно перемножить первый элемент строки на первый элемент столбца, второй элемент строки на второй элемент столбца ит.д. и затем полученные произведения сложить.

Пример 1.4. Пусть заданы: вектор- строка и вектор- столбец требуется перемножить А на В.

РЕШЕНИЕ. = .

Правило 2. Умножение матрицы А размером ( ) на матрицу В размером ( ).

При умножении матрицы А размером на матрицу В размером получается матрица С размером . Причем элемент матрицы С получается перемножением

ой строки А матрицы и го столбца В матрицы.

Замечание.Правило 2 говорит нам о том, что если число столбцов первого сомножителя совпадает с числом строк второго сомножителя, то такие матрицы перемножать можно .

Пример 1.5. Перемножить матрицы А и В

РЕШЕНИЕ. Условия перемножения матриц выполнены. Начнём с вычисления элемента . Нужно первую строку А матрицы умножить на первый столбец В матрицы: = . Чтобы вычислить элемент нужно первую строку А матрицы умножить на второй столбец В матрицы: = .

Чтобы вычислить элемент нужно первую строку А матрицы умножить на третий столбец

матрицы В матрицы: = .

Остальные элементы С матрицы находим аналогично. Рекомендуем читателю самостоятельно их вычислить.

Ответ: .

Пример 1.6. Умножение столбца на строку. Перемножить .

Решение. Выписываем правило . В результате должна получиться матрица

С размером (сравните с результатом умножения строки на столбец ( см. пример 1.4))

Ответ: .

Пример 1.6. Умножение матрицы на столбец.Перемножить

Решение. Выписываем правило . Перемножать можно. В результате получается матрица-столбец размером . Выписываем ответ

=