Теорема Кронекера-Капелли. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Задание. При каких значениях 
система 
будет совместной?
Решение. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения этой матрицы к ступенчатому виду. Поэтому записываем расширенную матрицу системы 
(слева от вертикальной черты находится матрица системы 
):
и с помощью элементарных преобразований приводим ее к ступенчатому виду. Для этого вначале от первой строки отнимаем две вторых строки, а от третьей вторую, в результате получаем:
Третью строку складываем с первой:
и меняем первую и вторую строки матрицы местами
Матрица приведена к ступенчатому виду. Получаем, что 
, 
. Таким образом, при 
система совместна, а при 
- несовместна.
