Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Пример 1. Найти матрицу, обратную для матрицы

.

Решение: Обратную матрицу находят по следующему плану.

1) Найдём определитель матрицы :

, следовательно, существует .

2) Составим матрицу из алгебраических дополнений:

3) Транспонируем полученную матрицу (поменяем местами строки и столбцы матрицы):

.

4) Найдем по формуле :

.

Замечание. Рекомендуется выполнить проверку, для чего необходимо убедиться, что выполняется условие .

Рассмотрим решение матричных уравнений – уравнений относительно неизвестной матрицы . Матричные уравнения можно свести к уравнениям трех видов:

1)   Слева

2)   Справа

3) Слева и справа

Замечание: 1) Матрица должна быть невырожденной, т.е. её определитель не равен нулю;

2) .

Пример 2. Решить матричное уравнение , где , .

Решение: Вычислим определитель матрицы : , следовательно, матрица невырожденная и обратная матрица существует.

Обратная матрица найдена в примере 1 и имеет вид: .

Тогда .

Сделать проверку подстановкой в исходное уравнение самостоятельно.

Пример 3. Решить матричное уравнение

Решение:

Находим обратную матрицу:

Находим определитель матрицы:

, значит, матрица имеет обратную.

Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы

; ;

; .

Тогда .

Аналогично,

Алгебраические дополнения к элементам матрицы :

; ; ; . Тогда .

Найдем .

Затем найдем .

Получим .

Проверка:

.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Вычислить обратные матрицы для матриц:

а) ;

б) .

Выполнить проверку: .

2. Решить матричные уравнения

а) ;

б) , где

.

Рекомендации: Сначала вычислить матрицу и матрицу , тогда уравнение сведется к уравнению вида 3).