Определители квадратных матриц

Пример 1. Вычислить определитель второго порядка :

.

Пример 2. Вычислить определитель матрицы третьего порядка

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца.

.

а) ;

б) Находим алгебраические дополнения к элементам первой строки по формуле :

Теперь по теореме Лапласа

.

в) Находим алгебраические дополнения к элементам второго столбца по формуле :

Теперь по теореме Лапласа

Пример 3. Вычислить определитель третьего порядка с помощью элементарных преобразований.

Решение: С помощью элементарных преобразований получим в первом столбце все элементы, кроме элемента , равные нулю. Для этого умножим элементы первой строки на (-4) и сложим с соответствующими элементами второй строки, затем умножим элементы первой строки на (-7) и сложим с соответствующими элементами третьей строки, при этом значение определителя не изменится (по свойству 2 определителей). Обратите внимание: первая строка в определителе осталась без изменений!

Затем переходим к вычислению определителя с помощью разложения Лапласа по элементам первого столбца.

= .

Замечание 1. Определитель , так как содержит пропорциональные строки (вторая и третья) по свойству 7 определителей.

Замечание 2. Нулевые элементы можно получать в любой строке (столбце) определителя.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Вычислить определитель второго порядка .

2. Решить уравнение .