Ранг матрицы

Пример 1. Найти ранг матрицы .

Решение: Матрица ненулевая и ее размеры , значит, .

Найдем минор наивысшего порядка отличный от нуля.

1) Существует минор 2-го порядка отличный от нуля , следовательно, .

2) Рассмотрим миноры 3-го порядка: их будет

так как содержит пропорциональные столбцы (первый и третий) ( см.свойство 8 определителя).

Аналогично,

. При вычислении данного определителя получили нули в первом столбце с помощью элементарных преобразований, а затем вычислили определитель разложением Лапласа по элементам первого столбца.

. При вычислении данного определителя получили нули во втором столбце с помощью элементарных преобразований, а затем вычислили определитель разложением по элементам второго столбца.

Итак, все определители 3- го порядка оказались равными нулю, при этом нашелся минор 2-го порядка, отличный от нуля.

По определению 1.13 ранг матрицы равен наивысшему порядку миноров отличных от нуля, следовательно, .

Как видим, находить ранг матрицы с помощью определения весьма затруднительно. В дальнейшем будем находить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований, приводя ее к ступенчатому виду.

Пример 2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Решение: Матрица ненулевая и ее размеры , значит, .

С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы, приведем матрицу к ступенчатому виду. Для этого необходимо получить нули ниже диагональных элементов.

Поменяем местами первую и третью строки, чтобы , а затем умножим первую строку на (-5) и прибавим ко второй строке; потом умножим ее на (-3) и прибавим к третьей строке, затем умножим на (-7) и прибавим к четвертой строке. В результате получим нулевые элементы в первом столбце под элементом . Запись будем вести в виде цепочки эквивалентных матриц.

̴ ̴

̴ ̴ ̴ ̴ ̴ .

В третьей по порядку матрице разделим первую, вторую и третью строки соответственно на «3», «2» и «2», а затем умножим вторую строку последовательно на (-1), на (-2) и прибавим соответственно к третьей и четвертой строке. В результате получим нулевые элементы во втором столбце под элементом .

В пятой по порядку матрице поменяем третью и четвертую строки, а затем третий и пятый столбцы, при этом .

В результате получили ступенчатую матрицу, в которой три ненулевые строки, следовательно, .

Замечание. В предпоследней полученной матрице столбцы можно было не переставлять. Нулевую строку можно отбросить и рассмотреть минор 3-го порядка, составленный из первого, второго и пятого столбцов, . Следовательно, ранг матрицы будет равен трем.

Пример 3. Определить максимальное число линейно независимых строк матрицы

.

Решение:Согласно теореме о ранге матрицы задача сводится к отысканию ранга матрицы .

Приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, поменяв предварительно первую и вторую строки местами.

̴ ̴ ̴

̴ .

В полученной ступенчатой матрице три ненулевые строки, значит, .

Следовательно, исходная матрица содержит три линейно независимые строки

( ).

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти ранги матриц:

а) ; б) .

2. Найти максимальное число линейно независимых строк матриц:

а) ; б) .

Ответы:

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .