Матрицы. Определители

1.1 Операции над матрицами

Пример 1. Найти и , если

, .

Решение: так как при умножении матрицы на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число, то

, .

При сложении (вычитании) матриц складываются (вычитаются) элементы, стоящие на одинаковых местах, поэтому

,

.

Отметим, что операция сложения (вычитания) возможна только для матриц, имеющих одинаковую размерность.

Пример 2. Найти и , если

.

Решение: операция умножения матриц сложнее предыдущих.

Напомним, что операция умножения матриц определена лишь для матрицы размера m×n и матрицы размера n×k, в результате чего получается новая матрица размера m× k, у которой элемент вычисляется по формуле

= + + … + = ,

т.е. элемент в строке и столбце получается в результате ” умножения” строки первой матрицы (А) на столбец второй матрицы (В).

а) произведение существует, так как число столбцов в матрицы равно числу строк в матрице . Таким образом,

;

б) Произведение существует, и соответственно .

.

Обратите внимание, что .

Пример 3. Предприятие производит типов продукции, объемы выпуска заданы матрицей . Цена реализации единицы го типа продукции в -ом регионе задана матрицей , где – число регионов, в которых реализуется продукция.

Найти матрицу выручки по регионам.

Пусть ,

.

Решение:

Выручка определяется матрицей , причем -это выручка предприятия в -ом регионе.

.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти матрицу , где ,

2. Вычислить АВ и ВА, если .

3.Вычислить , если . Примечание: .

4. Вычислить , если .