ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1) Пусть — решение дифференциального уравнения . Показать, что введение новой искомой функции приводит к дифференциальному уравнению, допускаю­щему понижение порядка.

2) Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки перегиба графиков решений уравнения .

3) Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки графиков решений уравнения , соответствую­щие максимумам и минимумам.

Как отличить максимум от минимума?

4) Линейное дифференциальное уравнение останется ли­нейным при замене независимой переменной , где функция произвольная, но дифференцируемая достаточное число раз. Доказать это утверждение для линейного дифферен­циального уравнения второго порядка.

5) Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается линейным при преобразовании искомой функции

Здесь — новая искомая функция ,и — про­извольные, но достаточное число раз дифференцируемые функции.

6) Составить общее решение уравнения , если известно ненулевое частное решение этого уравнения.

7) Показать, что произвольные дважды дифференцируемые функции и являются решениями линейного диффе­ренциального уравнения

8) Составить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее .

Показать, что функции и линейно независимы в интер­вале .

Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функ­ций равен нулю в точке . Почему это не противоречит необ­ходимому условию линейной независимости системы решений линейного однородного дифференциального уравнения?

9) Найти общее решение неоднородного линейного диффе­ренциального уравнения второго порядка, если известны три линейно-независимые частные его решения , , ?,.

10)Доказать, что для того чтобы любое решение линейно­го однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяло условию, , необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части.