П. 8 Исследование функции и построение графиков

Определение 1.Точка , в которой производная равна нулю или не существует, называется критической точкойфункции .

Пример.Рассмотрим функцию . Произ-

водная функции не существует в точке . Следовательно, является критической точкой данной функции. (рисунок)

Пусть является критической точкой функции , дифференцируемой в некоторой окрестности этой точки (кроме, может быть, самой точки ) и непрерывной в ней. Тогда, если производная меняет знак при переходе через точку , то в этой точке функция имеет экстремум, а именно, если меняет знак с “+” на “-”, то - точка максимума; если с “-” на “+”, то - точка минимума. Если производная знак не меняет, то экстремума в точке нет. Таким образом, например, если , то - точка максимума функции . Применим теорему Лагранжа. Так как , то неравенство имеет место для всех из левой полуокрестности точки . Так как

, то неравенство имеет место для всех из правой полуокрестности точки . Таким образом, получили определение точки максимума функции :

Аналогично рассуждая, получим, что если , то - точка минимума функции .

Теорема 1.Если является критической точкой функции и то:

1) если то точка минимума;

2) если то точка максимума;

3) если то требуется дополнительное исследование.

Доказательство:

Пусть - критическая точка функции и существует . Тогда существует производная .

Пусть . Тогда возрастает в окрестности . Следовательно, меняет знак в окрестности с “-” на “+”, т.е. - точка минимума функции . ■

Пример.Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции:

. Таким образом, - критические точки данной функции. Так как , то , . По теореме точка требует исследования знака первой производной: при всех из некоторой окрестности этой точки, поэтому точка не является точкой экстремума данной функции. Так как , то по теореме - точка минимума.