Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
и дифференцируема на интервале 
, тогда найдется точка 
.
Доказательство:
Введем вспомогательную функцию 
так, чтобы функция 
удовлетворяла теореме Ролля, т.е. 
:
, 
,
.
Тогда 
,
, 
. Таким образом, 
■
Замечание. Геометрический смысл теоремы:
$ точка x, в которой касательная к графику функции имеет такой же наклон, как и хорда, соединяющая точки 
и 
. (Рисунок)
.
Замечание.Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.
Следствие 1. Формула конечного приращения
Если 
то 
где 
, или 
.
Следствие 2. Критерий монотонности
Для того, чтобы функция 
, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно, чтобы 
.
Доказательство:
Необходимость. Пусть функция не убывает на отрезке . Тогда, по определению, имеем 
. Возьмем любой 
и придадим ему положительное приращение 
. Получим 
.
Достаточность. Пусть 
. Возьмем точки 
такие, что 
и применим теорему Лагранжа: 
, где 
. Тогда 
или 
. Таким образом, получили определение неубывающей функции. ■
