П. 2 Правила дифференцирования

Теорема 1.Пусть и - дифференцируемые функции в точке . Тогда:

1. ;

2. ;

_3. , причем в некоторой окрестности точки .

Доказательство:

Докажем третье утверждение данной теоремы. Для этого рассмотрим приращение:

_.

Найдем предел:

. Таким образом, . ■

Теорема 2.Пусть функция дифференцируема в точке и биективна (т.е. наша функция имеет обратную функцию ). Тогда обратная функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство:

Рассмотрим приращение функции , т.е. . Тогда .

Так как функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, следовательно, малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции . ■

Замечание. Геометрический смысл производной обратной функции (рисунок)

Так как , где - угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , то .

Замечание. Если растет быстрее в раз, то отстает на раз.

Теорема 3.Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в точке , которая является образом точки . Тогда функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство:

По условию функция дифференцируема в точке , т.е. . Тогда, используя дифференцируемость функции в точке , получим . Подставим в : .

Найдем предел . ■

Определение 1.Пусть . Говорят, что линия на плоскости задана параметрически, если ее точки имеют координаты . Таким образом, параметрическое задание данной линии равносильно ее явному заданию .

Теорема 4.Пусть функции дифференцируемы в точке , тогда функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство:

Рассмотрим ,

. По условию функция дифференцируема в точке , следовательно, непрерывна в этой точке, значит, бесконечно малому соответствует бесконечно малое .

Таким образом, . ■