1) Если 
.
2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е., если 
и 
существует, то не обязательно 
.
Пример 7.
т.е 
.
Определение. Матрицы, для которых 
, называются перестановочными.
Простейшим примером матрицы, перестановочной со всеми квадратными, является единичная матрица соответствующего порядка.
Пример 8.
3) Умножение матриц ассоциативно:
(при условии существования указанных произведений).
4) Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения:
.
5) 
6) 
6) Пусть 
- единичная матрица. Тогда для любой квадратной матрицы 
того же порядка что и 
.
Отметим ещё одно отличительное свойство умножения матриц: произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулю. Ненулевые матрицы и 
, удовлетворяющие условию 
, называются истинными делителями нуля.
Пример 9.
а) 
б) 
Операция возведения матрицы в целую положительную степень определяется так: 
(произведение берется k раз). 
