Криволинейные координаты. Коэффициенты Ламэ

Наряду с декартовыми координатами в векторном анализе часто применяются криволинейные координаты.

Пример 1.В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) пространства определяется тремя координатами , где ρ – расстояние от проекции точки M на плоскость X0Y точки N до начала координат, φ – угол между положительным направлением оси 0X и вектором . Третьи координаты точки М в цилиндрической и декартовой системе координат совпадают.

Рис. 16

При этом

Пример 2.Поставим в соответствие каждой точке M(x,y,z) тройку чисел , где r – расстояние от точки M до начала координат, φ – угол между положительным направлением оси ОХ и вектором (см. рис.17), Θ – угол между положительным направлением оси 0Z и вектором . Здесь точка N - проекция точки M на плоскость X0Y.

Рис. 17

Упорядоченная тройка чисел называется сферическими координатами. Связь декартовых координат со сферическими определяется формулами:

Можно считать, что , .

Пусть каждой точке M трёхмерного пространства отвечает упорядоченная тройка чисел , и обратно, каждой тройке чисел отвечает единственная точка M. В этом случае величины называют криволинейными координатами точкиM.

Так как любой точке M можно поставить в соответствие ее декартовы (x, y, z) и криволинейные координаты, то это означает, что между переменными x, y, z и существует функциональная зависимость

(5)

Причем система (5) должна быть однозначно разрешима в области изменения .

Определение. Множество точек M пространства, у которых фиксирована одна из координат, называется координатной поверхностью.

Множество точек M , у которых фиксированы две координаты, называются координатной линией.

Очевидно, что координатные линии являются пересечением координатных поверхностей.

Пример 3.В цилиндрической системе координат координатные поверхности – круговые цилиндры.

полуплоскости, примыкающие к оси 0Z;

плоскости, параллельные плоскости X0Y.

Пример 4.В сферической системе координат координатные поверхности сферы с центром в начале координат, полуплоскости, примыкающие к оси 0Z, круговые полуконусы с осью 0Z.

Векторное уравнение координатных линий получается из равенства

в котором фиксированы две переменные.

Зафиксируем точку и проведем через нее три координатные линии:

В точке M₀ эти линии имеют касательные, векторное уравнение которых имеет вид:

(6)

Оказывается, совокупность векторов , которые меняются по величине и направлению при изменении точки M₀, линейно независимы в каждой точке, то есть образуют базис. Его называют локальным базисом.

Итак, в каждой точке мы построили локальный базис (6), элементы которого меняются по величине и направлению при переходе от точки к точке.

Определение.Система координат называется ортогональной криволинейной системой, если в любой точке пространства координатные линии пересекаются под прямым углом.

Так как ортогональность координатных линий означает ортогональность их касательных, то необходимым и достаточным условием для ортогональности криволинейной системы координат является равенство нулю скалярного произведения

где , .

Задача.Проверить, что цилиндрическая и сферическая системы координат – ортогональные криволинейные системы координат.

Итак, основное отличие криволинейных координат от декартовых состоит в том, что в декартовой системе векторы постоянны во всех точках пространства и равны соответственно . Во всякой другой системе они будут, вообще говоря, изменять свои направления при переходе от точки к точке.

Определение.Длины базисных векторов называются коэффициентами Ламэ и обозначаются .

Коэффициенты Ламэ находят по формулам

В ортогональной криволинейной системе координат векторы

имеют единичную длину, образуют ортонормированный локальный базис и для любого вектора

(7)

Так как дифференциал дуги ds совпадает с длиной дифференциала радиус-вектора (4) и вдоль каждой координатной линии меняется только одна переменная, то

; ; .