Решение

Пример 6. Найти коэффициенты Ламэ в сферической системе координат

Решение

Инвариантное определение ротора и дивергенции

Определение дивергенции векторного поля связано с выбором системы координат, но пользуясь формулой Гаусса-Остроградского

(9)

можно дать другое, инвариантное определение дивергенции векторного поля.

Для этого окружим точку M небольшой областью V с объемом v и пусть S есть граница области V.

Применяя (9) и пользуясь теоремой о среднем, запишем

где точка и v – объем области V.

Сжимая V к точке M и учитывая, что тогда , получим

. (10)

Аналогично из формулы Стокса получим

где L – граница двумерной области S, а ориентация нормали согласована с ориентацией контура L так, чтобы из конца нормали обход контура в выбранном направлении был виден совершающимся против часовой стрелки, можно получить определение , не связанное с выбором системы координат

Здесь некоторое направление, проходящее через точку M, − плоская площадка, проходящая через точку M перпендикулярно к , σ – площадь области a(σ), λ – граница области a(σ).

Запись означает, что площадка a(σ) стягивается к точке M, в которой рассматривается вектор причем направление нормали к этой площадке остается все время одним и тем же.

Пусть скалярное поле u и координаты векторного поля непрерывно дифференцируемые функции. В декартовой системе координат, если

то , ,

Найдем выражения для , , в криволинейной ортогональной системе координат. Обратимся сначала к .

Рассмотрим элементарный параллелепипед в ортогональных криволинейных координатах и определим поток поля через поверхность этого параллелепипеда.

Рис. 18

Далее для вычисления воспользуемся формулой (10).

Начнем с определения потока через правую и левую грани. В основной вершине A криволинейные координаты имеют значения ( ), остальные вершины имеют следующие координаты:

, , ,

, ,

, .

Заметим, что на правой грани направления внешней нормали совпадают с направлением координатной линии q₁, а на левой грани эти направления противоположны. Если локальный ортонормированный базис в точке А, и

, то на правой грани

а на левой грани так как из ортонормированности локального базиса следует, что , , .

Ввиду малости граней заменяем поверхностный интеграл по ним просто произведением подынтегральной функции на площадь соответствующей грани и таким образом получим для потока через грани и выражение

Воспользуемся формулами (8).

Получим

где – коэффициенты Ламэ.

По теореме Лагранжа

Подставляя это равенство в поверхностный интеграл, получим окончательно выражение потока через правую и левую грани

Аналогично поток через заднюю и передние грани

А поток через верхнюю и нижние грани

Складывая полученные три выражения и деля их на величину элементарного объема (8) , приходим к выражению для дивергенции в криволинейной ортогональной системе координат