Пусть скалярное поле u и координаты векторного поля 
дважды непрерывно дифференцируемые функции.
Рассмотрим дифференциальные операции 2-го порядка (в них оператор 
действует дважды):
1) 
;
(оператор 
называют лапласианом).
2) 
(всегда = 0);
3) 
;
4) 
(всегда = 0);
5) 
.
Оператор 
играет важную роль в математической физике.
Имеем
, 
.
Итак, 
.
Оператор Лапласа 
можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона на самое себя, то есть
.
Пример 4.Показать, что для скалярной функции 
.
Решение.Действуя формально, получим
,
так как векторное произведение двух равных векторов равно 0.
Пример 5.Получить выражение для 
.
Решение.Имеем, пользуясь формулой двойного векторного произведения,
,
где 
.
То есть в декартовой системе координат 
, 
, где через 
обозначена проекция вектора 
на вектор 
.
В общем случае ортогональной криволинейной системы координат (§7).
и вообще говоря
.
Пример 6.Показать, что 
.
Решение. 
.
Задачи
1. Используя оператор Гамильтона, доказать следующие равенства:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
где 
постоянный вектор,
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
где 
постоянные векторы,
, 
.
2. Показать, что 
.
3. Доказать, что вектор 
ортогонален к 
.
4. Пусть скалярная функция u удовлетворяет уравнению Лапласа 
. Показать, что вектор 
соленоидальный и безвихревый, то есть 
, 
.
5. Доказать, что:
а) 
;
б) 
, где 
, .
