Пользуясь свойствами векторных операций, получим

,

То есть ;

,

или ;

,

то есть

Оператор Гамильтона обладает как дифференциальными, так и векторными свойствами. При работе с ним следует придерживаться следующих правил:

1) оператор действует на все величины, написанные за ним, и не действует на величины слева от него;

2) если оператор действует на произведение величин, то в первую очередь учитываются его свойства, имеющие характер дифференцирования, а затем уже векторные свойства;

3) если нужно отметить, что не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом с, который в окончательном варианте убирается.

4) после того, как учтены дифференциальные свойства оператора , каждое из слагаемых необходимо преобразовать по правилам векторной алгебры так, чтобы те величины, на которых оператор не воздействует (и только они) вышли из под знака оператора . Это означает, что из двух и более эквивалентных форм записи, допустимых по правилам векторной алгебры, надо выбрать ту форму, в которой под знаком оператора остается только сомножитель, на который он действует, а сомножитель с индексом «с» выносится из− под знака оператора .

Пример 1. Найти .

Имеем . Мы учли дифференциальный характер оператора Гамильтона. Преобразуем теперь каждое слагаемое по правилам векторной алгебры. В первом слагаемом u – скаляр, на который не действует оператор . Поэтому его можно вынести за знак оператора Гамильтона и за скалярное произведение. Второе слагаемое преобразуем следующим образом:

.

Здесь воспользовались тем, что

.

Окончательно получим

.

Пример 2. Найти .

Решение.Пользуясь тем, что , и правилами

1) – 4), имеем

=

.

Здесь мы пользовались тем, что

.

Таким образом, .

Пример 3.Найти .

Решение.Пользуясь известным из векторной алгебры равенством

, получим

.

Операция читается так: градиент вектора по вектору . В декартовой системе координат если

то

.