Рассмотрим два вектора

,

и их векторное произведение .

Поверхность (2) называется гладкой, если непрерывно дифференцируема в области и для всех точек (u,v) .

Введем понятие ориентации поверхности.

Пусть поверхность S имеет представление (2). Фиксируем . Тогда задаст некоторую кривую , лежащую на S. Вектор-функция определяет кривую ,

Рис. 1

также лежащую на S. Эти кривые проходят через точку поверхности S.

Векторы и будут касательными к кривым и в точке (см. задачу 1). Следовательно, они лежат в касательной плоскости к S в точке , а вектор ( , так как поверхность гладкая) направлен по нормали к поверхности S в точке . Через обозначим единичный вектор этой нормали

. (3)

В каждой точке гладкой поверхности S существует нормаль, на которой можно выбрать два направления и .

Определение. Если из каждой точки M гладкой поверхности S можно выпустить единичную нормаль так, что полученная вектор-функция от М будет непрерывной на всей поверхности S, то S называется ориентируемой поверхностью.

Для ориентируемой гладкой поверхности существуют две ориентации, одну из которых определяемой (3), называют положительной, а вторую отрицательной.

Функцию называют непрерывным полем единичных нормалей.

Итак, S – ориентируемая поверхность, если кроме самой поверхности S, на ней задано непрерывное поле единичных нормалей. Такую поверхность удобно обозначать символом S₊. Ту же поверхность, но ориентированную противоположным образом, обозначают S_–.

Определение.Под кусочно-гладкой поверхностью будем понимать непрерывную поверхность, составленную из конечного числа гладких поверхностей.

Пример 2.Плоскость X0Y. Единичные векторы, перпендикулярные плоскости и идущие в положительном направлении оси z, определяют одну ориентацию плоскости, а векторы, идущие в отрицательном направлении оси z – другую ориентацию плоскости

Пример 3.Поверхность сферы также ориентируема. Выпущенные из ее точек векторы нормали, направленные во внешность сферы, образуют непрерывное поле.

Этим поверхность сферы ориентирована (определена внешняя сторона сферы). Другая противоположная ориентация поверхности сферы определяется полем единичных нормалей, идущих внутрь сферы.

Найдем направляющие косинусы (координаты) единичной нормали (3), если поверхность задана в виде

В этом случае у нас

Подставляя эти выражения в (2), получим

(4)

Так как то

Замечание. Если уравнение поверхности задано неявно

(5)

то единичное поле нормалей задается равенством

где

Отметим, что в любой точке поверхности вектор перпендикулярен к этой поверхности.

2. Скалярные и векторные поля. Основные дифференциальные операции в декартовой системе координат

Если каждой точке М некоторой области пространства поставлено в соответствие число (скаляр) , то говорят, что задано скалярное поле. В прямоугольной системе координат, скалярное поле станет функцией трех переменных .

Пример скалярных полей дает поле температур, потенциал электромагнитного поля и т.д.

Пусть − единичный вектор. Он задает некоторое направление.

Определение.Производной от функции по направлению называется предел (если он существует)

где вдоль луча, выходящего из т. M₀ по направлению вектора − длина вектора Пусть функция, непрерывно дифференцируемая в точке M₀,

Тогда

(1)

Определение.Градиентом скалярного поля φ называется вектор

. (2)

Свойства градиента:

а) из формулы (1) следует, что ;

б) , так как

где угол между векторами и ;

в) если , то есть направления и совпадают, то

.

Отсюда следует, что направление характеризуется тем, что производная по направлению будет наибольшей. То есть – вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции φ.

г) вектор в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня , проходящей через эту точку в сторону возрастания поля.

Пример 1.Даны скалярное поле точки , . Найти:

1) градиент поля в точке M₀;

2) производную функции в точке M₀ по направлению от точки к точке M₁;

3) производную функции в точке M₀ в направлении градиента функции в этой точке;

4) угол между градиентами данной функции в точках M₀ и M₁.

Решение.1) Находим частные производные функции и их значения в точке M₀:

По формуле (2) находим

2) Найдем производную скалярного поля в точке M₀(1,2,3) по направлению, идущему к точке M₁(2,4,5).

Это направление определяется вектором

, поэтому по формуле (1)

,

где , , , получим

, , ,

.

3) Найдем производную функции в точке по направлению .

Так как то направляющие косинусы

, ,

и .

4) Найдем угол между градиентами данной функции в точках и .

Находим частные производные функции и их значения в точке M₁.

,

,

.

Тогда .

Угол φ между градиентами и находим по формуле

то есть

=

Пример 2.Найти производную скалярного поля в точке M₀(1,1), принадлежащей параболе по направлению:

1) этой кривой (в сторону возрастания абсциссы); 2) внешней нормали к этой кривой.

Рис. 2

Решение.Направлением параболы в точке M₀(1,1) считается направление касательной к параболе в этой точке. Пусть α – угол наклона касательной к кривой в точке M₀. Тогда

.

Частные производные функции в точке M₀:

, .

По формуле получим

.

2) Пусть угол наклона внешней нормали к кривой в точке M₀. Тогда ,

.

.

Пример 3.Для скалярной функции найти градиенты в точках P₀(1,6) и P₁(0,0), угол между и , производную по направлению , где вектор перпендикулярен прямой x – 3y = 4 и направлен в сторону убывания поля.

Решение. Вычислим частные производные функции z в точках P₀ и P₁:

; ;

; .

Тогда

Поскольку то угол между и равен нулю. Поскольку то угол между и равен нулю.

Найдем производную по направлению. Так как вектор перпендикулярен прямой то он коллинеарен вектору нормали этой прямой. Кроме того, должен быть направлен в сторону убывания поля. Согласно свойству градиента в этом случае угол между вектором и должен быть тупым, а

Вычислим Поэтому в качестве вектора возьмем вектор Вычислим .

Тогда имеем

.

Определение.Если в каждой точке M некоторой области G трехмерного пространства задан вектор, то говорят, что задано векторное поле .

В декартовой системе координат задание поля

(3)

эквивалентно заданию трех скалярных функций P, Q, R.

Примеры: электростатическое поле, магнитостатическое поле и т.д. Для векторного поля (3), где P, Q, R – непрерывные функции своих аргументов, имеющие непрерывные частные производные первого порядка, можно ввести две операции: дивергенцию и ротор.

Определение.Дивергенцией векторного поля называется скалярная функция

. (4)

Ротором (вихрем) векторного поля называется векторное поле

. (5)

Замечание. Данные определения зависят от системы координат. Ниже (§7, п.3) даны определения , , инвариантные относительно системы координат.

Пример 4. Найти дивергенцию векторного поля

.