Вектор-функция скалярного аргумента

Пусть − вектор, заданный в некоторой декартовой системе координат, его длина. Тогда вектор имеет единичную длину.

Если координатные орты, углы между векторами и , и , и соответственно, то

Координаты вектора называют направляющими косинусами.

Пример 1.Пусть , , Тогда .

Вектор называется вектор-функцией скалярного аргумента t, если любому t из множества допустимых значений ставится в соответствие вектор

В декартовой системе координат задание вектор-функции эквивалентно заданию трех скалярных функций x(t), y(t), z(t), являющихся координатами

Пусть вектор-функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда

1. .

Геометрически это означает, что стремится к как по длине, так и по направлению.

2. Вектор-функция называется непрерывной при , если .

3. Если при отношение имеет

предел, то этот предел называется производной вектор-функции по скалярному аргументу t и обозначается .

4. Кривая называется гладкой, если вектор-функция непрерывно дифференцируема и для всех t из области допустимых значений.

Задачи.1.Доказать, что (1) непрерывна (непрерывно дифференцируема) тогда и только тогда, когда функции x(t), y(t), z(t) непрерывны (непрерывно дифференцируемы) и

2. Доказать, что .

3. Доказать, что в каждой точке гладкой кривой существует касательная и производная направлена по этой касательной в сторону возрастания параметра t.

Понятие поверхности в трехмерном пространстве можно определить с различной степенью общности. Будем рассматривать поверхность, как образ замкнутой плоской области при непрерывном отображении. Такую поверхность можно задать различными способами:

а) поверхность, которая задается в явном виде , где f – функция непрерывная в замкнутой ограниченной области . Аналогично , или .

б) более общим заданием поверхности является параметрическое: , , , где функции x, y, z непрерывны в замкнутой ограниченной области . Три равенства можно заменить одним векторным:

. (2)