Найти объем пирамиды ABCD.

Решение:

1) Запись вектора в системе орт имеет вид , где координаты вектора, орты осей Ох, Oy, Oz соответственно.

Длина или модуль вектора находится по формуле .

Найдем координаты вектора по формуле

, тогда

или в системе орт .

Модуль вектора .

Аналогично, координаты вектора находим по формуле

, тогда

или в системе орт .

Модуль вектора .

Найдем координаты вектора по формуле

, тогда

или в системе орт .

Модуль вектора .

2)Определение. Скалярным произведением векторов иназывается число, равное произведению модулей векторов и на косинус угла между ними:

Теорема.Скалярное произведение векторов и вычисляется по формуле: .

Скалярное произведение позволяет находить угол между векторами, координаты которых известны. Из определения скалярного произведения имеем:

.

Найдем угол между векторами и , где

и

.

3) Скалярное произведение позволяет находить проекцию вектора на вектор

Найдем проекцию вектора на вектор , где и .

4) Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор такой, что:

1) ;

2) перпендикулярен к плоскости векторов и ;

3) образует с упорядоченной парой векторов и правую тройку (т.е. если смотреть с конца вектора на плоскость векторов и , то кратчайший поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки).

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .