Векторний добуток двох

Поряд із множенням двох векторів, яке приводить до скаляра, розглянемо ще один тип множення векторів, внаслідок якого дістаємо вектор. Таке множення називається векторним.

Векторним добутком двох векторів і називається вектор , який задовольняє таким умовам:

1) Довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , тобто

(37).

2) Вектор перпендикулярний до площини цього паралелограма, тобто перпендикулярний і до вектора , і до вектора :

та (38).

3) Вектори , , , взяті у такому порядку, утворюють праву трійку векторів. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.

Для векторного добутку вектора на вектор вводиться позначення:

або (39).

Якщо вектори-множники взаємно перпендикулярні, то модуль векторного добутку дорівнює добутку модулів співмножників:

якщо (40).

Якщо вектори-множники колінеарні, то і векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, тобто

(41).

Закон комутативності для векторного добутку не виконується, або точніше вектор має напрям, протилежний до :

(42).

Властивість сполучності відносно скалярного множника зберігається:

(43).

Властивість розподільності для векторного добутку також зберігається:

(44).

Якщо векторний добуток двох векторів записати у координатній формі, то маємо:

(45).

Якщо є вектор сили, прикладеної до деякої точки В, а вектор , спрямований з точки А в точку В, то векторний добуток буде моментом сили відносно точки А.

Приклад 1. Дано: і . Обчислити .

Розв’язання:

Відомо, що . Для того, щоб розв’язати задачу, нам потрібно знайти . З умови маємо: , звідки = . Оскільки >0, то .

З тригонометричної тотожності знаходимо : = = .

Отже, = .

Приклад 2. Трикутник задано вершинами А(1; ‑1; 2), В(5; ‑6; 2), С(1; 3; ‑1). Обчислити довжину висоти, опущеної з вершини В на сторону АС.

Розв’язання:

Знаходимо вектори та Тоді згідно з формулою та формулою (45) дістанемо:

Крім того, , тобто Отже, знаходимо і маємо

Приклад 3. На точку А(4; 2; ‑3) діють дві сили та . Знайти момент рівнодіючої цих сил, його величину та напрямні косинуси відносно точки В(2; 4; 0).

Розв’язання:

Знайдемо рівнодіючу заданих сил та вектор Згідно зі сказаним вище, момент сили знаходиться за формулою:

Напрямні косинуси вектора моменту сили відповідно дорівнюють

Приклад 4. Якій умові повинні задовольняти вектори і , щоб вектори та були колінеарними?

Розв’язання:

Щоб ненульові вектори та були колінеарні, необхідно, щоб модуль їх векторного добутку дорівнював нулеві, тобто

,

Але і , отже звідки або , тобто вектори і повинні бути колінеарними.

Приклад 5. Вектори , і задовольняють умові Довести, що

Доведення:

Оскільки то вектори , і утворюють трикутник. Згідно з означенням векторного добутку вектори перпендикулярні до площини трикутника і всі вони спрямовані в один бік:

Знайдемо модулі кожного з визначених векторів:

Маємо: , тому що кожний з виразів дорівнює подвійній площі трикутника АВС. Таким чином, усі три вектори однаково спрямовані та мають однакову довжину, тобто: