Мішаний добуток трьох векторів. Подвійний векторний добуток

Якщо векторний добуток двох векторів помножається скалярно на третій вектор , то такий добуток трьох векторів називається мішаним (векторно-скалярним) і позначається так:

= (46).

Мішаний добуток має просте геометричне тлумачення – це скаляр, який за абсолютною величиною дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних трьох векторах.

Якщо вектори , , утворюють праву трійку, то мішаний добуток є число додатне, що дорівнює зазначеному об’єму, а якщо трійка , , ‑ ліва, то мішаний добуток – число від’ємне, яке за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних векторах.

Мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулеві тоді, коли ці вектори компланарні, тобто умова компланарностітрьох векторів має вигляд:

(47).

Мішаний добуток не змінюється, якщо має місце переставлення співмножників за колом і змінює знак, якщо в такому переставленні порушено послідовність співмножників:

(48).

Тому мішаний добуток векторів , , іноді позначають простіше, написавши їх поряд у тій послідовності, в якій проводяться дії:

(49).

Помітимо, що якщо в мішаному добутку є два колінеарні вектори, то він дорівнює нулеві.

Якщо векторний добуток двох векторів помножається векторно на третій вектор , то такий добуток називається подвійним векторним добутком і позначається так:

(50).

Для подвійного векторного добутку порушується комутативний і асоціативний закони:

(51),

(52).

Вектор компланарний векторам і ; тому має місце формула:

(53).

Приклад 1. Три вершини тетраедра знаходяться в точках А(2; 1; -1), В(3; 0; 1), С(2; -1; 3). Знайти координати четвертої вершини D, яка належить вісі Оу, якщо об’єм тетраедра дорівнює 3 куб. од.

Розв’язання:

Оскільки точка D належить вісі Оу, то її координати (0; у; 0). Об’єм тетраедра ABCD можна розглядати як об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах як на ребрах:

.

Розв’язуючи це рівняння, дістанемо, що отже .

Приклад 2. Визначити, якою є трійка векторів , , (правою або лівою), якщо:

1)

2)

3)

Розв’язання:

Знайдемо мішаний добуток трьох заданих векторів. Якщо цей добуток не буде дорівнювати нулеві, то вектори , , будуть некомпланарні. Якщо при цьому то трійка , , ‑ права, а якщо то – ліва.

1) звідси видно, що трійка векторів права;

2) тобто вектори компланарні;

3) тобто трійка векторів ліва.

Приклад 3. Довести, що чотири точки лежать в одній площині.

Розв’язання:

Для того, щоб довести, що чотири точки лежать в одній площині, достатньо довести, що три вектора, початком яких є деяка з даних чотирьох точок, а кінцями є інші три точки, лежать в одній площині, тобто, що ці три вектори компланарні. За спільний початок векторів виберемо точку А, тоді:

Вектори будуть компланарними тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулеві.

= ‑2+12‑8‑2=0.

Отже, одержали, що вектори компланарні, тому точки A, B, C, D належать одній площині.

Приклад 4. Задана піраміда з вершинами в точках А(1; 2; 3), В(‑2; 4; 1), С(7; 6; 3), D(4; ‑3; ‑1). Знайти:

а) довжину ребер ;

б) площу грані АВС;

в) кут між ребрами і ;

г) об’єм піраміди;

д) довжину висоти, опущеної на грань АВС.

Розв’язання:

а) Знайдемо вектори .

Знайдемо модулі цих векторів:

б) Площа грані АВС буде дорівнювати:

в) Кут між ребрами і знайдемо за формулою:

г) Об’єм піраміди обчислимо за формулою:

д) Довжину висоти h, опущеної на грань АВС, можна знайти, користуючись формулою:

звідки

Таким чином

.