Формы задания векторов: 1)

Векторы

Вектором AB называется направленный отрезок, выходящий из т. А в т. В.

Свободный векторомназывается множество равный между собой векторов.

Формы задания векторов: 1)

Сложение векторов:

Суммой 2х векторов А и В называется вектор С, выходящий из начала вектора А в конец вектора В при условии, что начало вектора В совпадает с концом вектора А (правило треугольника)

Умножение векторов:

Произведением вектора А на число α назыв. Вектор, длина которого равна произведению модуля числа |α|на длину вектора |A|. Этот вектор направлен в ту же сторону, что вектор А, если α положительно, и в противоположную, если α отрицательно.

Коллинеарные векторы –векторы, имеющие одинаковое направление.

Базис. Система векторов называется линейно-зависимой, если существует α_1, α₂,…α_n: линейная комбинация векторов равно нулю(0). (α₁a₁+ α₂a₂+… α_na_n=0).

В противном случае векторы являются линейно-независимыми.

Система векторов является линейно- зависимой, если один вектор можно выразить через остальные.

Базисом называется максимально линейно-независимая система векторов.

Произведение векторов:

Скалярное произведение векторов– это число равное произведению длин векторов a и b на cos угла между ними.

Свойства скалярного произведения:

1) Перестановочность.

2) Сочетательность относительно умножения.

3) Распределительное.

4)

5) Критерий ортогональности (Перпендикулярности).

Ортогональный Базис– это три взаимоперпендикулярных вектора в пространстве.

|i|=|j|=|k|=1

Векторное произведение векторов – это вектор С, удовлетворяющий 3 условия:

1) (синус угла между ними)

2)

3) - правая тройка векторов

Векторное произведение двух векторов равно обобщенному определителю, первая строка i, j, k, вторая – координаты a и b.

Axb=

Свойства векторного произведения:

1) Модуль векторного произведения = S на и

След-е: S =

2) Векторное произведение антиперестоновочно:

.

3) Критерий коллениарности:

=0

Смешанное произведение векторов – это скалярное произведение 1-го вектора на векторное произведение 2-го и 3-го.

.

Компланарность - Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Свойства компланарности

Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения:

· Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

· Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

· Смешанное произведение компланарных векторов . Это — критерий компланарности трёх векторов.

· Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.

· Существуют действительные числа такие, что для компланарных , за исключением случаев или . Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.

· В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. То есть любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.